05二叉树

Posted 2021-12-13 再吃一个橘子

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了05二叉树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

本章重点：

树的概念及结构
二叉树概念及结构
二叉树顺序结构及实现
二叉树链式结构及实现

说明：

1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1 <= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

1.2树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先，A、E、G是P的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

注意：

树的层次有两种写法，都没有错误：

从1开始，依次类推
从0开始，依次类推

习惯上，我们采用从1开始的层次；如果题目不说，那么我们也采用第一种，从1开始的方式来定义树的层次。

除非题目有特指是，层次从0层次开始（空树为 -1），才采用第二种。

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：

双亲表示法，孩子表示法以及左孩子右兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的左孩子右兄弟表示法。

首先，我们想想，如何去表示树呢？代码如何实现树的结构呢？

脑海中冒出第一个想法————定义一个结构体，里面有数据data，有存储子结点的指针，那么问题来了！需要定义多少指针呢？？？

但是，我们发现了缺陷：

可能会存在不少的空间浪费
玩意没有限定树的度为多少呢？

那么对于不知道树的度数，我们有改进方案2：

不知道N，没关系，来一个节点，往顺序表里放，不够了就扩容。

结构复杂，所以，也不考虑方式2，

除此之外，我们可以考虑结构数组存储结点（数据+父亲节点所在下标）

但是，上面的方式，各有优缺点，而表示树结构的最优方法，是左孩子有兄弟表示法。

左孩子有兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
	DataType data; // 结点中的数据域
	struct Node* firstChild; // 永远只指向第一个孩子结点
	struct Node* NextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
};

即：

1.4树在实际中的应用

表示文件系统的目录树结构

思维导图

2.二叉树的概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2现实中的二叉树

2.3特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^K - 1，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

由图可得到：

两个满二叉树、完全二叉树的重要性质！

（1）满二叉树中，

所有的叶子节点都在最后一层。
所有的分支节点都有两个孩子。

问个问题？满二叉树，给定树的高度，怎么计算有多少结点？

高度是h的满二叉树，共有2^h - 1个结点。

反过来同理：给出满二叉树的结点个数，求出树的高度

（2）完全二叉树：

前N - 1层都是满的。
最后一层不满，但是最后一层从左到右是连续的。
最多只有一个度为1的结点。

连续性说明：

最多只有一个度为1的结点说明：

2.4二叉树的性质

小试牛刀（二叉树题目）

解释：

2.5二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1.顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

注意，顺序存储，顺序二字很重要，即使没有数据，数组那个位置空着，也要遵守。

2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

2.6二叉树父亲节点与孩子节点关系计算

假设parent是父亲节点在数组中的下标

leftchild = parent * 2 + 1
rightchild = parent * 2 + 2

假设孩子下标是child，不管是左孩子还是右孩子

parent = (chile - 1) / 2

对于非完全二叉树，也可以使用数组顺序存储，但是可能会浪费空间！！

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。