[CF1588E]Eligible Segments

Posted 2021-12-12 StaroForgin

Eligible Segments

题解

一个点到$[p_i,p_j]$的线段的距离可以用该点到$[p_i,p_j)$与$[p_j,p_i)$这两条射线距离的最大值表示出来。
所以事实上，我们只需要让所有点到$[p_i,p_j)$与$[p_j,p_i)$两条射线的距离都小于$R$，就可以说明所有点到$[p_i,p_j]$的距离小于$R$。

我们想想如果$p_k$到一条从$p_i$出发的射线的距离小于$R$，那么这条射线应该往哪射。
显然，我们可以从$p_k$做一个半径为$R$的圆，在$p_i$对于这个圆的两条切线形成的角内的射线，到$p_k$的距离都小于$R$。
满足到所有点的距离都小于$R$的条件，相当于在所有角的交内。
求切线就是一个简单的高中集合过程，你当然可以把交点都算出来，但事实上你只需要算切线角的角度与$[p_i,p_k)$的弧度，两个较大肯定是关于$[p_i,p_k)$对称的。
我们可以将所有角用弧度制表示成区间，我们的射线的弧度应该在这个区间内。
我们对于$p_i$更新出它的合法区间后，查询一下有哪些$p_j$在这个区间内即可。
最后看看有哪些两个方向的射线都满足条件就行了。

时间复杂度$O\left(n^2\right)$，但貌似常数有点大。

源码

#pragma GCC Optimize(2)
#pragma GCC Optimize(3)
#pragma GCC Optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 3005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;      
const int INF=0x3f3f3f3f;    
const int mo=1e9+7;
const int inv2=499122177;
const double jzm=0.997;
const int zero=15;
const int n1=200;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int n,R,ans;bool mp[MAXN][MAXN];
double sqr(double x){return x*x;}
struct point{
	double x,y;point(){x=y=0;}
	point(double X,double Y){x=X;y=Y;}
	point operator + (const point &rhs)const{return point(x+rhs.x,y+rhs.y);}
	point operator - (const point &rhs)const{return point(x-rhs.x,y-rhs.y);}
	double angle(){return atan2(y,x);}
	double length(){return sqrt(sqr(x)+sqr(y));}
}p[MAXN];
double dist(point x,point y){return (x-y).length();}
signed main(){
	read(n);read(R);double r=R;
	for(int i=1,x,y;i<=n;i++)read(x),read(y),p[i]=point(x,y);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double L1=Pi,R1=-Pi,L2=-Pi,R2=Pi;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			double tmp=dist(p[i],p[j]);if(tmp<=R)continue;
			double tp=(p[j]-p[i]).angle(),dt=asin(r/tmp);
			double tmp1=tp+dt;if(tmp1>Pi)tmp1-=Pi+Pi;
			double tmp2=tp-dt;if(tmp2<-Pi)tmp2+=Pi+Pi;
			if(Fabs(tmp1-tmp2)<Pi)L1=min(L1,max(tmp1,tmp2)),R1=max(R1,min(tmp1,tmp2));
			else L2=max(L2,max(tmp1,tmp2)),R2=min(R2,min(tmp1,tmp2));
			if(max(R1,L2)>L1&&min(L1,R2)<R1)break;
		}
		for(int j=1;j<=n;j++)if(i^j){
			double tmp=(p[j]-p[i]).angle();
			if(tmp<=L1&&tmp>=max(R1,L2))mp[i][j]=1;
			else if(tmp>=R1&&tmp<=min(L1,R2))mp[i][j]=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i+1;j<=n;j++)
		if(mp[i][j]&&mp[j][i])ans++;
	printf("%d\\n",ans);
	return 0;
}

谢谢！！！