2017 USP Try-outs C. Coprimes

Posted 2021-12-12 solemntee

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题意：给你一个长度为$n$的数组，问$l$到$r$位置间是否有互素对$(a[i],a[j])=1(i\ne j)$
对于每个位置$l$,我们可以求出最小的$r$，使得$[l,r]$之间有互质的数对。
随着$l$的增大，$r$一定会增大，因此我们可以考虑尺取。在右端点进入和左端点退出的时候，我们尝试维护区间内不互质数对的个数$pair$。
对于$\mu (x)\ne 0$的$x$,我们用$cnt[x]$维护,区间内有多少个数字的因子中有$x$,然后，没进入一个右端点$r$时，那么每个$d|a[r]$且$\mu (d)\ne 0$且$d\ne 1$的$d$对$pair$的贡献为$-\mu (d)cnt[d]$，把这个贡献加到$pair$里去，同理，退出一个又端点的时候，把这个贡献从$pair$中减去。

简而言之，构建一个桶，$cnt[x]$来维护集合中$x$倍数的数量，那么集合中与$a[x]$不互素的数数量等于
$$\sum _{d|a[i],d\ne 1}-\mu (d)cnt[d]$$
因为1不能作为公因数所以容斥$cnt[1]$没有意义，我们跳过1，后面所有的数字就都要取反

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int nxt[500005];
bool vis[10000005];
int pri[1000005];
int mo[1000005];
int tot=0;
void init(int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mo[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])pri[++tot]=i,mo[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                mo[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            else mo[i*pri[j]]=mo[i]*-1;
        }
    }
}
int nowans=0;
int CNT[500005];
int a[500005];
void addcnt(int id,int w)
{
    for(int i=1;i*i<=a[id];i++)
    {
        if(a[id]%i==0)
        {
            if(i*i==a[id])CNT[i]+=w;
            else
            {
                CNT[i]+=w;
                CNT[a[id]/i]+=w;
            }
        }
    }
}
void add(int id,int w)
{
    for(int i=1;i*i<=a[id];i++)
    {
        if(a[id]%i==0)
        {
            if(i*i==a[id])
            {
                nowans+=mo[i]*w*CNT[i];
            }
            else
            {
                nowans+=mo[i]*w*CNT[i];
                nowans+=mo[a[id]/i]*w*CNT[a[id]/i];
            }

        }
    }


}
int main()
{
    init(500000);
    mo[1]=0;
    int N,M;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&a[i]);

    int R=0;
    for(int l=1;l<=N;l++)
    {
        while(nowans<=0&&R<N)
        {
            add(++R,1);
            addcnt(R,1);
            nowans+=R-l;
        }
        if(nowans>0)nxt[l]=R;
        else nxt[l]=-1;
        nowans-=R-l;
        addcnt(l,-1);
        add(l,-1);
    }
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        if(nxt[l]!=-1&&nxt[l]<=r)printf("S\\n");
        else printf("N\\n");
    }
    return 0;
}