克里金插值

Posted 2021-12-12 UQI-LIUWJ

1 定义

        相比反距离插值反距离插值 IDW_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客，克里金插值公式更加抽象

        其中 是点 (xo,yo)处的估计值

        这里的 λi是权重系数。它同样是用空间上所有已知点的数据加权求和来估计未知点的值。但权重系数并非距离的倒数，而是能够满足点 (xo,yo)处的估计值与真实值 zo的方差最小的一套最优系数，即
        

        同时满足无偏估计的条件

        

2 普通克里金插值

        不同的克里金插值方法的主要差异就是假设条件不同。

        普通克里金插值的假设条件为，空间属性z在各个点有相同的分布。换句话说对于空间任意一点(x,y)，z(x,y)都有同样的期望c与方差σ2。即：

        

        换一种说法是，对于任意一点(x,y)，该点的值z(x,y)，都由区域平均值c和该点的随机偏差R(x,y)组成，即
        

         其中R(x,y)表示点(x,y)处的偏差，其均值为0，方差为常数
 

 2.1 无偏约束条件

        将代入有：

        

         因为对任意的z都有E[z]=c，所以有：

        

          于是有：

              

 2.2 优化目标函数

        我们的目标是

        为了方便起见，我们令

        于是有：

 

         再次简化描述，令：        

        这里：

 

         于是有：

 

2.2.1 优化目标函数的最优解

我们 定义半方差函数，将以及代入J，有：

 

我们的目标是寻找使J最小的一组 λi，且J是 λi的函数，因此直接将J对 λi求偏导数令其为0即可。

但是要注意的是，我们要保证求解出来的最优 λi 满足。

这是一个带约束的最优化问题，我们使用拉格朗日乘法进行求解，构造如下的目标函数

求解使这个代价函数最小的参数集 ϕ,λ1,λ2,⋯,λn，则能满足其在 约束下最小化J。即

 

 

由于，而，所以

于是有： 

 

 在以上计算中我们得到了对于求解权重系数 λj的方程组。写成线性方程组的形式就是：
 

 

 写成矩阵形式为：

 对矩阵求逆即可求解。

2.3 半方差函数 

上文中对半方差函数的定义为

它的等价形式为：

 

2.3.1 证明半方差函数的等价

而 

于是有：

所以：

2.3.1 如何计算rij？

 表达了属性的相似度
 

 空间的相似度就用距离来表达，定义i与j之间的几何距离

 3 小节

总的来说，进行克里金插值分为这几个步骤：

1）对于观测数据，两两计算距离与半方差

2）寻找一个拟合曲线拟合距离与半方差的关系，从而能根据任意距离计算出相应的半方差

3）计算出所有已知点之间的半方差 rij

4）对于未知点 zo，计算它到所有已知点 zi的半方差 rio

5）求解方程组，得到最优系数 λi

6）使用最优系数对已知点的属性值进行加权求和，得到未知点 zo的估计值