深入理解取整取余与取模问题

Posted 2021-12-11 鹿九丸

目录

1. 取整问题

1.0向取整（C语言默认的取整方案）

2.地板取整（向负无穷的方向取整）

3.天花板取整（向+无穷的方向取整）

4.四舍五入取整

汇总例子

2.取模问题 

1.余数的定义

2.两种余数

3.为什么会有这种现象？

3.区分取余与取模

1.取余与与取模的本质区别

2.理解链

3.同符号与不同符号

1.同符号：

2.不同符号

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1. 取整问题

1.0向取整（C语言默认的取整方案）

#include<stdio.h>
#include<windows.h>
int main()
{
	//本质是向0取整
   //trunc()函数也有这种作用，不过返回值是浮点数，而且必须引用math.h头文件
	int i = -2.9;
	int j = 2.9;
	printf("%d\\n", i); //结果是：-2
	printf("%d\\n", j); //结果是：2
	system("pause");
	return 0;
}

2.地板取整（向负无穷的方向取整）

#include <stdio.h>
#include <math.h> //因为使用了floor函数，需要添加该头文件
#include <windows.h>
int main()
{
	//本质是向-∞取整，注意输出格式要不然看不到结果
	printf("%.1f\\n", floor(-2.9)); //-3
	printf("%.1f\\n", floor(-2.1)); //-3
	printf("%.1f\\n", floor(2.9)); //2
	printf("%.1f\\n", floor(2.1)); //2
	system("pause");
	return 0;
}

 注意：使用floor()函数需要引头文件，参数为double 类型。返回值也同样为double类型。同时不要忘了引math.h头文件。

 

 注意：python默认的取整方案就是地板取整，后面也正是因为这个原因，才出现了取模的不同！

3.天花板取整（向+无穷的方向取整）

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <windows.h>
int main()
{
	//本质是向+∞取整，注意输出格式要不然看不到结果
	printf("%.1f\\n", ceil(-2.9)); //-2
	printf("%.1f\\n", ceil(-2.1)); //-2
	printf("%.1f\\n", ceil(2.9)); //3
	printf("%.1f\\n", ceil(2.1)); //3
	system("pause");
	return 0;
}

注意：使用ceil()函数需要引头文件，参数为double 类型。返回值也同样为double类型。同时不要忘了引math.h头文件。

 

4.四舍五入取整

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <windows.h>
int main()
{
//本质是四舍五入
printf("%.1f\\n", round(2.1));
printf("%.1f\\n", round(2.9));
printf("%.1f\\n", round(-2.1));
printf("%.1f\\n", round(-2.9));
system("pause");
return 0;
}

注意：使用round()函数需要引头文件，参数为double 类型。返回值也同样为double类型。同时不要忘了引math.h头文件。

汇总例子

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <windows.h>
int main()
{
	const char* format = "%.1f \\t%.1f \\t%.1f \\t%.1f \\t%.1f\\n";
	printf("value\\tround\\tfloor\\tceil\\ttrunc\\n");
	printf("-----\\t-----\\t-----\\t----\\t-----\\n");
	printf(format, 2.3, round(2.3), floor(2.3), ceil(2.3), trunc(2.3));
	printf(format, 3.8, round(3.8), floor(3.8), ceil(3.8), trunc(3.8));
	printf(format, 5.5, round(5.5), floor(5.5), ceil(5.5), trunc(5.5));
	printf(format, -2.3, round(-2.3), floor(-2.3), ceil(-2.3), trunc(-2.3));
	printf(format, -3.8, round(-3.8), floor(-3.8), ceil(-3.8), trunc(-3.8));
	printf(format, -5.5, round(-5.5), floor(-5.5), ceil(-5.5), trunc(-5.5));
	system("pause");
	return 0;
}

2.取模问题 

1.余数的定义

余数的定义：如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r|< |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

注意：余数并不一定都是正数，大家一定要牢记这个概念！

2.两种余数

由定义可知：

                     -10%3=-1------>-10/3=-3------->3*(-3)+(-1)=(-10)（C语言中是这样的）

                      -10%3=2------->-10/3=-4------->4*(-3)+ 2=(-10)（python环境中是这样的）

解释C: -10 = (-3) * 3 + (-1)(负余数）

解释Python：-10 = （?）* 3 + 2,其中，可以推到出来,'?'必须是-4,即-10 = （-4）* 3 + 2，才能满足定义。（正余数）

所以，在不同语言，同一个计算表达式，负数“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数和负余数。

3.为什么会有这种现象？

由上面的例子可以看出，具体余数r的大小，本质是取决于商q的。

而商，又取决谁呢？取决于除法计算的时候，取整规则。

C语言中默认是０向取整，python中默认是-无穷的方向取整。

3.区分取余与取模

1.取余与与取模的本质区别

取余：尽可能让商，进行向0取整。

取模：尽可能让商，向负无穷方向取整。

所以：

C中%,本质其实是取余。

Python中%，本质其实是取模。

2.理解链

对任何一个大于0的数，对其进行0向取整和负无穷取整，取整方向是一致的。故取模等价于取余。其实这也是为什么我们常常会认为取模以取余是一码事的原因所在。

对任何一个小于0的数，对其进行0向取整和负无穷取整，取整方向是相反的。故取模不等价于取余。

3.同符号与不同符号

1.同符号：

同符号数据相除，得到的商，一定是正数，即大于0！ 故，在对其商进行取整的时候，取模等价于取余。（倘若从数学上理解，就是简单的在负数的前面加一个绝对值即可）

2.不同符号

#include<stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
	printf("%d\\n", -10 / 3); //结果：-3
	printf("%d\\n\\n", -10 % 3); //结果：-1 为什么? -10=(-3)*3+(-1)
	printf("%d\\n", 10 / -3); //结果：-3
	printf("%d\\n\\n", 10 % -3); //结果：1 为什么？10=(-3)*(-3)+1
	system("pause");
	return 0;
}

从上面可以看出：

被除数为负数时，取余后为负号。

除数为负数时，取余后为正数。

不同符号在C语言中虽然也有一定的规律，但我并不希望大家利用这个规律，而是利用定义老老实实的计算，毕竟这这是针对C语言的结论，在python中就不适用了，因为二者的取整方式是不同的。