初阶数据结构——二叉树
Posted 东条希尔薇
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了初阶数据结构——二叉树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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前言
我们在上篇文章中已经介绍了二叉树的相关性质及其应用，点我直达上一篇文章
然而，在实际应用中，单纯地讲二叉树的增删查改是没有意义的
因为存储和访问数据，将会变得特别的困难，因为二叉树是一种层次结构，需要递归来定义，在哪一点添加删除？这将变成一个最大的问题
二叉树的增删查改仅仅在搜索二叉树和AVL树中有应用，但由于它们的实现比较复杂，将在后续的专栏中进行讲解
但我们实际在很多oj题中需要多二叉树进行遍历操作，所以我们在这篇文章中不讲解增删查改，只讲解一些基础的操作
分治思想
二叉树的各种操作使用的分治的思想，就是将大事化小，小事化了
举一个形象的例子：
你是某个学校的校长，需要统计你学校的总学生数
但如果你一个个的数的话，那工作量将会非常巨大
所以你可以这么分解问题：
将每个院的院长叫来，让他们统计每个院的人数
院长同样会将每个辅导员叫过来，安排任务
辅导员叫班主任，班主任叫班长
在这里班长已经不可拆分了，就可以依次往上上报了
最好，你只需要将每个院的结果加起来，就得到了学校的总人数
在解决二叉树的问题中，我们也用到了一样的思想：根就像我们的校长，要执行某个任务，可以安排给左子树和右子树进行，而左子树和右子树又可以把任务安排给它们的子树。。。
二叉树的定义
我们这里采用链式定义的方式，一个结构体来定义一个结点，分别存放数据，指向左孩子的指针和指向右孩子的指针
typedef int BTDataType;
typedef struct BinTreeNode
{
struct BinTreeNode* left;
struct BinTreeNode* right;
BTDataType data;
}BTNode;
为了以下内容的讲解，我们先写一个函数来创建一棵简单的树
BTNode* createBinTree()
{
BTNode* n1 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
BTNode* n2 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
BTNode* n3 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
BTNode* n4 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
BTNode* n5 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
BTNode* n6 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
BTNode* n7 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
n1->data = 1;
n2->data = 2;
n3->data = 3;
n4->data = 4;
n5->data = 5;
n6->data = 6;
n7->data = 7;
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
n3->left = n6;
n3->right = NULL;
n4->left = n7;
n4->right = NULL;
n5->left = NULL;
n5->right = NULL;
n6->left = NULL;
n6->right = NULL;
n7->left = NULL;
n7->right = NULL;
return n1;
}
创建出来就是这样的一棵树
遍历操作
绪论
二叉树我们采用递归的方式来遍历，基本思想就是访问根，左子树，右子树，再访问左子树的根，左子树的左子树，左子树的右子树。。。依次往下
根据访问顺序的不一样，将它们分为以下几种遍历顺序
- 前序遍历：访问根，左子树，右子树
- 中序遍历：访问左子树，根，右子树
- 后序遍历：访问左子树，右子树，根
以下将具体举例
前序遍历
记得要始终先访问每棵树不论是哪棵子树的根，然后继续往下操作
直接上图解：
根据递归的思想，我们可以直接写出代码
记住递归的几个要素：递归终止条件和递归继续的条件
void PrevOrder(BTNode* root)
{
if (!root)
{
printf("NULL");//终止条件，为空直接返回
return;
}
printf("%d ", root->data);//访问根部
PrevOrder(root->left);//访问左子树
PrevOrder(root->right);//访问右子树
}
递归展开图
中序遍历
中序遍历就是总是先访问完左子树后再访问根和右子树
还是以前面那棵树为例
代码实现
void InOrder(BTNode* root)
{
if (!root)
{
printf("NULL");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%d ", root->data);//与前序遍历的区别仅仅是将根部的访问放在中间
InOrder(root->right);
}
后序遍历
与前面的思想基本差不多，这里就不详细阐述了
void PostOrder(BTNode* root)
{
if (!root)
{
printf("NULL");
return;
}
PostOrder(root->left);
PostOrder(root->right);
printf("%d ", root->data);
}
二叉树求结点个数
我们可以利用开始说到的思想，将问题分配给每个结点的下级，让他们分配任务
首先，如果是空树，或者走到叶子结点的下级了（叶子结点的下级为空）就返回0
然后就转换为左结点的个数+右结点的个数+1（跟结点自己）
int BinTreeSize(BTNode* root)
{
return !root ? 0 : 1 + BinTreeSize(root->left) + BinTreeSize(root->right);
}
二叉树求叶子结点的个数
叶子结点的特征是它的左右子树为空
根据这个特征可以判断，还是一样，数出左右子树的叶子结点个数加起来即可
int BinTreeLeafSize(BTNode* root)
{
if (!root)
return 0;
return root->left == NULL && root->right == NULL ? 1 : BinTreeLeafSize(root->left) + BinTreeLeafSize(root->right);
}
二叉树求第K层结点个数
这里同样用到分治思想
如果是空树或者到叶子结点的下一层，返回0
如果只有一层的话，也就是只有一个根结点，就返回1
问题转化成求第左子树第一层结点个数+右子树第一层结点个数
不断往下分解即可，直到求到需要的层数
int BinTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
//返回第K层结点个数
assert(k >= 0);
if (!root)
return 0;
if (k == 1)
return 1;
return BinTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
二叉树求最大深度
问题分解为求出左右子树中的较大深度+1（根结点占1个深度）
为了防止函数调用过多，用变量保存左右子树的深度
int BinTreeDepth(BTNode* root)
{
if (!root)
return 0;
//函数调用频繁
//return BinTreeDepth(root->left) > BinTreeDepth(root->right) ? 1 + BinTreeDepth(root->left) : 1 + BinTreeDepth(root->right);
//用变量保存
int leftDepth = BinTreeDepth(root->left);
int rightDepth = BinTreeDepth(root->right);
return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}
二叉树返回某个指定结点
还是从左右子树中找
BTNode* BinTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
if (!root)
return NULL;
if (root->data == x)
return root;
BTNode* Left = BinTreeFind(root->left, x);
if (Left)
return Left;
BTNode* Right = BinTreeFind(root->right, x);
if (Right)
return Right;
return NULL;
}
以上是关于初阶数据结构——二叉树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章