平衡二叉搜索树查找的时间复杂度为什么是O(log n)?

Posted 2021-12-09 zhangjin1120

• 二叉搜索树的搜索的时间复杂度，会因为具体结构不同而不同，只有右子树的情况下，时间复杂度是O(n)。平衡的情况下，时间复杂度是O(logn)。这个O(logn)是怎么来的？

n个结点的二叉搜索树的高度是多少？

• 只有1个根节点的二叉搜索树，高度为1。log2(1)=0,0+1=1;
• 2，3个结点的二叉搜索树，高度为2。log2(2)=1，1+1=2；
• 4，5，6，7个结点的二叉搜索树，高度为3。log2(7) < 3，log2(7)取整+1为3。
• N个结点的二叉搜索树，高度是[log2(N)]+1。[]表示取整。

查找的最坏情况

 先说说最好情况，最好情况就是，要查找的那个数刚好是根节点，只需要查找1次。最坏情况，要查找到树的最深节点，查找次数是树的高度。根据上面所讲，树的高度就是[log2(n)]+1。
 我们平常所说的时间复杂度，是指最坏时间复杂度。因为平均时间复杂度和最坏时间复杂度很接近，所以就直接考虑最坏时间复杂度。对这一点有疑问，参考:算法（一）时间复杂度。
 由此，我们可以确定O(n)=[log2(n)]+1

时间复杂度的三个原则：

• 如果运行时间是常数量级，用常数1表示；
• 只保留时间函数中的最高阶项；
• 如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数。

由于只保留最高阶项，所以[log2(n)]+1,就简化为[log₂n]了。对于取整符号[],在计算机中就是乘以10，再除以10，例如：

3.6*10/10=3 //这是计算机中的运行结果，不是数学中的计算结果。数学结果还是3.6

所以，[log₂n]=log₂n*10/10，根据原则三，省去最高阶想前面的系数，就是log₂n。

log₂n也不是log n呀？

为什么时间复杂度中的描述用“logn”，而不用“log₂n”、“lnn”或“lgn”？打破砂锅问到底。
 看看换底公式：

把换底公式用在og₂n上，如下图：

可以看到，在去掉常数的情况下，log₂n可以是$lo{g}_{3}n$（这个对数函数，看上去是不是很帅？MarkDown 数学公式），也可以是$lo{g}_{4}n$，所以2也省点了，就是logn。感谢：ChanXB1n给我提供的思路。

总结一下

二叉搜索树的查找，最坏情况就是目标结点位于最深的叶子结点，就是树的高度[$lo{g}_{2}n$]+1，去掉常数项，去掉取整运算，再根据换底公式去掉对数的底数，就得到了O(logn)。