[海军国际项目办公室]NOIP 2021
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[海军国际项目办公室]NOIP 2021相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
NOIP 2021
题目概述
题解
这波直接未来题
我们可以先找到
p
=
4324321
p=4324321
p=4324321的一个原根
G
G
G，这样，每个数都可以用这个原根的次方表示出来，我们记
i
=
G
a
i
i=G^{a_{i}}
i=Gai。
显然，如果
p
p
p还有另外一个原根
G
′
G'
G′，那么必然有
(
G
′
,
φ
(
p
)
=
p
−
1
)
=
1
(G',\\varphi(p)=p-1)=1
(G′,φ(p)=p−1)=1，只有这样才能让
G
′
G'
G′的次方能够在
φ
(
p
)
\\varphi(p)
φ(p)内全部不同。
所以，我们只需要判断
a
i
a_{i}
ai是否与
φ
(
p
)
\\varphi(p)
φ(p)互质就可以知道它是不是原根。
不如直接将
φ
(
p
)
\\varphi(p)
φ(p)分解质因数，
φ
(
p
)
=
2
5
×
3
3
×
5
×
7
×
11
×
13
\\varphi(p)=2^5\\times3^3\\times5\\times 7\\times 11\\times 13
φ(p)=25×33×5×7×11×13，可以直接判断是不是这
6
6
6个数的倍数。
我们得到原根后考虑如何寻找我们的
k
i
k_{i}
ki。
显然有，
t
i
≡
k
i
s
i
(
m
o
d
p
)
⇒
r
a
t
i
≡
r
a
k
i
s
i
(
m
o
d
p
)
t_{i}\\equiv k_{i}^{s_{i}}(\\mod p)\\Rightarrow r^{a_{t_{i}}}\\equiv r^{a_{k_{i}}s_{i}}(\\mod p)
ti≡kisi(modp)⇒rati≡rakisi(modp)
由于
r
r
r是
p
p
p的原根，所以我们可以转化到次数上的相等，这里该更换一下
k
i
k_{i}
ki与
t
i
t_{i}
ti的含义，于是有，
t
i
≡
k
i
s
i
(
m
o
d
φ
(
p
)
)
t_{i}\\equiv k_{i}s_{i}(\\mod \\varphi(p))
ti≡kisi(modφ(p))由于
s
s
s在可见
A
S
C
I
I
\\rm ASCII
ASCII码中的范围大概只有
[
32
,
126
]
[32,126]
[32,126]，我们可以按照
m
o
d
m
\\mod m
modm的余数给所有数分类，对于每一类，我们可以通过前面几个数找到有哪些可能的
k
i
k_{i}
ki，再通过后面的数去检验我们的
k
i
k_{i}
ki是否正确。
这样的时间复杂度大概是
O
(
m
∣
C
∣
∑
i
∈
C
(
p
,
i
)
)
O\\left(m|C|\\sum_{i\\in C}(p,i)\\right)
O(m∣C∣∑i∈C(p,i))，大概有
70
p
t
s
70pts
70pts。
但事实上我们完全可以对其进行优化。
我们发现对于
c
=
32
c=32
c=32(空格)这样数字，它刚好可以整除我们的
φ
(
p
)
\\varphi(p)
φ(p)，如果拿它去寻找我们可能的
l
l
l，就只有
32
32
32中可能，其中可以成为原根的更少。
类似的还有
inhlucp
\\text{inhlucp}
inhlucp这
7
7
7个字符，总共有
8
8
8个字符。
由于题目保证我们所选择文本都是 符合英语书写习惯的有意义的 文本，而且基本每个类都有
[
40
,
50
]
[40,50]
[40,50]个字符，所以我们可以猜测我们这八个字符在每个类中都出现过。实际上仅仅是空格就在
99
%
99\\%
99%的类里面出现过了。
这样的话我们就可以大幅的压缩我们枚举的可能的
k
i
k_{i}
ki的个数了。
求出
k
i
k_{i}
ki后除过去就可以得到我们的
s
s
s了，毕竟
k
i
k_{i}
ki是与
φ
(
p
)
\\varphi(p)
φ(p)互质的。
时间复杂度
O
(
p
+
8
n
+
117
m
log
φ
(
p
)
)
O\\left(p+8n+117m\\log\\varphi(p)\\right)
O(p+8n+117mlogφ(p))。
实际上我们可以开始就用线性筛预处理每个数是不是我们的原根，而后面有时基本不可能枚举到我们的
u
u
u的，所以实际上快得多。
源码
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 5000005
#define MAXM 100005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=4324321;
const int mod=4324320;
const int inv2=499122177;
const double jzm=0.997;
const int zero=10000;
const int orG=17;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
_T f=1;x=0;char s=getchar();
while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y&l以上是关于[海军国际项目办公室]NOIP 2021的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章