cf C.Collatz Conjecture

Posted 2021-12-08 yeah17981

​​​​​​Dashboard - 2017 Benelux Algorithm Programming Contest (BAPC 17) - Codeforces

大意：给n个数字，求区间gcd的情况数

首先，设我们有三个数字 a b c

gcd(a,b)==d，gcd(b,c)==e

因为gcd(b,b)==b，gcd(gcd(a,b),gcd(b,c))=gcd(a,b,c,d)=gcd(a,b,c)

所以我们可以把所有的区间gcd写成一个倒三角形，下面的是上面俩的gcd

9 6 2 4

 3 2 2

  1  2

    1

去重完就只有9 6 4 3 2 1结果为6

完毕

怎么可能这么简单，这样算的复杂度是o(n*n)

如果有某一行的很多个数字是一样的，并且他们是相邻的（l,r），那么区间(l,r)的子串的gcd都是其本身，设num[l-1]=a，num[l]=b，gcd(a,b)=c，gcd(c,b)=c恒成立，求再多遍都是c，所以相邻的相同数子可以看做一个

例如

9 3 2 2 2 2 3 8 16

 3 1 2 2 2 1 1 8                

  1 1 2 2 1 1 1

    1 1 2 1 1 1

      1 1 1 1 1

        1 1 1 1

          1 1 1

            1 1

              1 

一个非常大的数，和一个非自己的数求gcd，最多也就64次（2^64>10^18）

所以在每次去掉相邻的相同数后最多64行全部就变成1了

直接结束了

因为不知道ans多大，而且没有去重，所以开数组存可能会爆，用set，自带去重还不会超空间

所以复杂度是o(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=5e5+5; 
int ans[N];
int num[N];
int f1[N];
int f2[N];
int n,l=0;
unordered_set<int> s;
long long gcd(long long a,long long  b)
{
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}
signed main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); 
cout.tie(0);

	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>num[i];
		s.insert(num[i]);	
	}
	int t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n-i+1-l;j++)// 
		{
			if(i%2==1)
			{
				f1[j-t]=gcd(num[j],num[j+1]);
				if(f1[j-t]==f1[j-t-1])
				{
					
					f1[j-t]=0;t++;
				}
				else
				{
					s.insert(f1[j-t]);	
				}
			}
			else
			{
				num[j-t]=gcd(f1[j],f1[j+1]);
				if(num[j-t]==num[j-t-1])
				{
					num[j-t]=0;
					t++;
				}
				else
				{
					s.insert(num[j-t]);
				}
			}
		}
		l+=t;
		t=0;
	}
	cout<<s.size()<<"\\n";
}