[海军国际项目办公室]DLS Round

Posted 2021-12-07 StaroForgin

DLS Round 2

序列异或

感觉跟PPL的 JZM的询问3 有点像。
我们可以将 $4$ 个数分成 $2$ 段，相当于我们前 $2$ 个数的异或只要与后两个数的异或值相等。
显然，我们可以先把前面的二元组 $(x,y)$ 的异或值存在 $y+1$ 里面，离线下来。
再从后往前更新后面的二元组 $(z,w)$ 的异或值，这时候再将之前的异或值拿出来，扫到时看有多少相同的。
时间复杂度$O\left(n^2\right)$。

code(干脆这篇文章就都放链接了)

乘法破译

个人感觉这道题才是这场最难的，我想得最久。
$$(p-1)(p-1)=p^2-2p+1=(p-2)p+1$$ 所以我们代表 $p-1$ 的数字不会再最高位上出现。
我们找到那个数没在最高位上出现就可以找到 $p-1$。
$$(p-1)x=(x-1)p+(p-x)$$ 所以我们用 $x$ 与 $p-1$ 相乘就可以在最高位得到 $x-1$ 代表的数字。
不断这样推下去，就可以得到 $[1,p-1]$ 中所有数字对应的数字。
剩下一个没用的就是 $0$。
时间复杂度 $O\left(p^2\right)$。
code

幸运数字

显然，我们可以对于每一位单独求有多少中方法在这里出现了 $4$。
对于 $n⩽40$，很容易猜到分成左右 $20$ 个，最后合起来求答案。
如果要在第 $i$ 位得到 $4$，我们显然只需要去考虑第 $i$ 位及其之前的数位。
我们不妨用双指针的方式，将所有数按第 $i$ 位之前的数的大小排序，再记录下左边的数在右边对应的和为 $[4\times 10^{i-1},5\times 10^{i-1})$ 与 $[14\times 10^{i-1},15\times 10^{i-1})$ 的区间，这两个区间的大小就是左边数的答案。
由于我们是的 $i$ 是不断增大的，我们后面用来排序的位数也就越来越多，显然，这可以用一个基数排序的形式来维护数的顺序。
时间复杂度 $O\left(2^{\frac{n}{2}}{\log }_{10}{2}^{\frac{n}{2}}\right)$。
code 有点卡常

排列计数

经典的隔板 $dp$，我第一次觉得的时候还以为有事什么高科技来着。
跟那个只维护 ${\sum }_{i=1}^{n-1}|a_i-a_{i+1}|$ 的题好像是一样来着。
将 $a$ 按照大小排序，然后 $dp$。
定义 $d{p}_{i,j,0/1,0/1}$ 表选到第 $i$ 个形成 $j$ 段，左右端点有没有被选。
然后 $dp$ 就行了，只是每个 $dp$要维护前 $K$ 大的值与对应的方案数，打着有点想吐。
时间复杂度 $O\left(n^2{K}^2\right)$。
code