区间DP矩阵取数游戏

Posted 2021-12-07 行码棋

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原题链接

题意：
对于一个给定的n×m 的矩阵，矩阵中的每个元素 均为非负整数
游戏规则如下：
每次取数时须从每行各取走一个元素，共 n 个。经过 m 次后取完矩阵内所有元素；
每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 × $2^i$， 其中 i 表示第 i 次取数（从 1 开始编号）,游戏结束总得分为 m 次取数得分之和。
对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

思路：
可以发现每行之间的结果互不影响，所以我们只需要弄明白怎么求一行的最大值即可
求一行区间的最大值，自然想到区间DP
区间DP是从小区间更新到大区间，我们可以考虑状态表示
状态表示：
$f[i][j]$表示区间 $[i,j]$中取数得到的最大值，这是取数的次数自然是$j-i+1$次
状态转移：
一个区间一般都是由两个状态转移过来，一个是前面少一个元素，一个是后面少一个元素。即
$f[i][j]=max(f[i+1][j]+a[k][i]\ast 2^{m-j+i},f[i][j-1]+a[k][j]\ast 2^{m-j+i})$
其中少的那一个元素为第$m-j+i$次取数，所以为相应的值乘2的对应幂次，一直从小的区间转移，直到转移到大区间
但是区间DP我喜欢用len长度的写法，所以相对应的转移方程就要变一下，其实本质不变
$f[l][l+len-1]=max(f[l+1][l+len-1]+a[k][l]\ast fact[m-len+1],f[l][l+len-2]+a[k][l+len-1]\ast fact[m-len+1])$

本题需要注意的是：
题目中数组中存储的数据超出了64位，但是发现int128可以满足数据范围的要求,所以就使用int128比较简便，int128和int差不多，就是读入输出需要写一个对应的函数，其他的使用都一样

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+100;

__int128 f[1005][1005],fact[100],res;
int n,m,a[1005][1005];

inline __int128 read()
{
	__int128 x = 0;
	int f = 1;
	char ch;
	ch = getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9')
	{
		if(ch=='-')
		{
			f = -1;
			ch = getchar();
		}
	}
	while(ch>='0' and ch<='9') x = x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}

void print(__int128 x)
{
	if(x<0) 
	{
		putchar('-');
		x = -x;
	}
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x % 10+'0');
}  
 
void solve()
{
	fact[0] = 1;
	for(int i=1;i<=80;i++)
		fact[i] = fact[i-1] * 2;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		for(int i=1;i<=m;i++) f[i][i] = a[k][i] * fact[m];
		
		for(int len=2;len<=m;len++)
		{
			for(int l=1;l+len-1<=m;l++)
			{
				f[l][l+len-1] = max(f[l+1][l+len-1]+a[k][l]*fact[m-len+1],
				f[l][l+len-2]+a[k][l+len-1]*fact[m-len+1]);
			}
		}
		res += f[1][m];
	}
	print(res);
}
int main()
{
	int _;
//	cin>>_;
	_ = 1;
	while(_--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}

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