mas714 笔记：undecidability

Posted 2021-12-07 UQI-LIUWJ

1 回顾： recursive 和 recursively enumerable

1.1 递归可枚举语言 Recursively Enumerable (r.e.) Languages

{L | there is a TM M such that L(M) = L}

——>这种语言的描述是不好的，如果语言w是图灵机TM可接受的，那么我们通过这种定义的方法是可以知道语言w在不在L(M)里面；但如果w不属于L(M)，那么有可能会一直在图灵机里面循环

1.2 递归语言 Recursive Languages （decidable）

Σ*表示在最初tape上的状态 

 这种语言的描述是很好的，因为无论如何，最终语言w都会停在图灵机M的某一个状态上，也就不会出现2.1的死循环的情况

从另一方面说，递归语言可以想成，在有限的时间/步数内，我们可以判断一个语言w是否被图灵机M接受

2.1可以看成是2.2 的特殊情况

2 universal TM

图灵机Mu的输入是<M>#w，其中：

<M>表示图灵机M的描述（伪代码等形式）

#表示分隔符

w表示某一个语言 

 2.1 Lu

        首先，Lu是 r.e. 因为 对于r.e.的定义“{L | there is a TM M such that L(M) = L}”，我们只需要让Mu为定义中的图灵机M即可

        但是，Lu是decidable嘛？不是，因为对于有些input (<M>#w),如果w在M中loop的话，那么 (<M>#w)可能在Mu中也会陷入loop

3 规约

和NP完全问题的规约类似，只是这边不需要在多项式时间内进行规约

从一个语言归约到另一个语言

3.1 规约举例：Lu≤Lhalt

3.1.1 Halting Problem

 这里规约的作用是，说明halting problem也是undecidable 

 

         这里reduction操作不会再M上执行w，它只生成相应的M’

        也就是说，即使M在输入为w的时候陷入loop，reduction也不会陷入loop，因为它只是转化，不进行计算

         

 3.1.2 L374

规约过程：

 4 r.e. 语言的性质

4.1 性质的定义

predicate 对每个r.e.中的语言L做一个映射，映射到True还是False

4.2 性质举例

 4.3 注意

注意这边说的是语言的性质，不是图灵机/程序的性质

4.4 平凡的属性

        如果一个属性是平凡的，那么就表示要么所有语言都满足这个性质，要么所有语言都不满足这个性质——显然，平凡的属性是decidable的

        平凡的属性举例：

1）

注：语言的属性是定义在r.e的语言上的，所以这个相当于是所有的语言

 2)

这个相当于是空集

3） 

 也相当于全集

 4.5 莱斯定理