王道数据结构与算法树(八——1)

Posted 2021-12-07 生命是有光的

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了王道数据结构与算法树(八——1)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

✍、目录脑图

1、树

1.1、树的基本概念

空树：结点数为 0 的树

非空树的特性：

有且仅有一个根结点
没有后继的结点称为叶子结点(或者终端结点)
有后继的结点称为分支结点(或者非终端结点)
除了根节点外，任何一个结点都有且仅有一个前驱
每个结点可以有 0 个或多个后继结点。

除了根结点外，任何一个结点都有且仅有一个前驱

树是 n(n≥0) 个结点的有限集合，n = 0 时，称为空树，这是一种特殊情况。在任意一棵非空树中应满足：

有且仅有一个特定的称为根的结点。
当 n > 1 时，其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集合T₁,T₂,…T_m，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根结点的子树。

1.2、结点之间的关系描述

如图就是一棵树的结构：

结点：树的结点包含一个数据元素和若干指向其子树的分支。
祖先结点：从根结点到该结点所经过分支上的所有结点。例如图中 K 的祖先结点有 E、B、A
子孙结点：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。例如图中 A 的子孙结点是下面所有结点。
双亲结点：一个结点的直接前驱就是它的双亲节点。例如图中 B、C、D 的双亲结点是 A
孩子结点：一个结点的直接后继就是孩子结点。例如图中 A 的孩子结点是 B、C、D
兄弟结点：具有相同双亲结点 (即同一个前驱)的结点称为兄弟结点。例如图中 B、C、D 为兄弟结点
两个结点之间的路径：只能从上往下 。例如结点 A 和结点 E 之间有路径，结点 E 与结点 G 之间没有路径。
两个结点之间的路径长度：一个结点到另一个结点之间经过了几条边。例如 A 到 E 的路径长度为 2

属性

结点的层次(深度) ：从上往下数，默认从 1 开始(有的教材默认从 0 开始，也不要奇怪，见题拆题)
- 深度为 1 是 A 结点
- 深度为 2 是 B、C、D结点
- 深度为 3 是 E、F、F、H、I、J 结点
- 深度为 4 是 K、L、M 结点
结点的高度：从下往上数，默认从 1 开始
- 高度为 1 是 K、L、M 结点
- 高度为 2 是 E、F、F、H、I、J 结点
- 高度为 3 是 B、C、D结点
- 高度为 4 是 A 结点
结点的度：有几个孩子(分支) 就有几个度
- 结点 B 有两个分支，结点 B 的度为 2
- 结点 C 有一个分支，结点 C 的度为 1
- 结点 D 有三个分支，结点 D 的度为 3
- 结点 M 是叶子结点，结点 M 的度为 0
树的度：各结点的度的最大值。也就是树中分支数最多
- 结点 A 、D 的分支最多为 3 ，所以树的度为 3

注意：叶子结点的度 = 0，非叶子结点的度 > 0

1.3、有序树、无序树、森林

有序树：树中各子树从左到右是有次序的，不能互换
无序树：树种各子树从左到右是无次序的，可以更换
森林：森林是 m(m≥0) 棵互不相交的树的集合

1.4、树的常考性质

结点数 = 总度数 + 1

结点的度 = 结点有几个孩子(分支)

度为 m 的树和 m 叉树
- 度为 m 的树：各结点的度的最大值为 m
- m 叉树：每个结点最多只能有 m 个孩子的树

度为 m 的树	m 叉树
任意结点的度 ≤ m(最多m个孩子)	任意结点的度 ≤ m(最多 m 个孩子)
至少有一个结点度 = m (有m个孩子)	允许所有结点的度都 < m
一定是非空树，至少有 m+1 个结点	可以是空树

度为 m 的树第 i 层至多有 m^i-1 个结点( i ≥ 1)

m 叉树第 i 层至多有 m^i-1 个结点( i≥1)

高度为 h 的 m 叉树至多有 (m^h -1)/(m-1) 个结点

高度为 h 的 m 叉树至少有 h 个结点

高度为 h、度为 m 的树至少有 h+m-1 个结点

总结

2、二叉树

二叉树是 n (n≥0) 个结点的有限集合。

或者为空二叉树，即 n = 0
或者由一个根节点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树又分别是一棵二叉树。

特点：

每个结点至多只有两棵子树
左右子树不能颠倒(二叉树是有序树)

2.1、满二叉树

满二叉树：一棵高度为 h，且含有 2^h -1 个结点的二叉树

特点：

只有最后一层有叶子结点
不存在度为 1 的结点
按层序从 1 开始编号，结点 i 的左孩子为 2i，右孩子为 2i+1，结点 i 的父节点为 [ i / 2] (如果有的话) [ i / 2 ]向下取整

2.2、完全二叉树

完全二叉树：当且仅当其每个结点都与高度为 h 的满二叉树中编号为 1~n 的结点一一对应时，称为完全二叉树。

特点：

只有最后两层可能有叶子结点。
同时只有一个度为 1 的结点
按层序从 1 开始编号，结点 i 的左孩子为 2i，右孩子为 2i+1，结点 i 的父节点为 [ i / 2] (如果有的话) [ i / 2 ]向下取整
i ≤ [ n / 2] 为分支结点, i > [n / 2] 为叶子结点

[n / 2 ] 向下取整
在完全二叉树中,如果某结点只有一个孩子,那么一定是左孩子

2.3、二叉排序树

二叉排序树：一棵二叉树或者空二叉树，或者具有如下性质的二叉树：

左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字
右子树上所有结点的关键字均大于根节点的关键字
左子树和右子树又各是一棵二叉排序树

二叉排序树用于元素的排序、搜索

2.4、平衡二叉树

平衡二叉树：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过 1

2.5、总结

3、二叉树的常考性质

设非空二叉树中度为 0、1 和 2 的结点个数分别为 n₀ 、n₁ 、n₂ ，则 n₀ = n₂ + 1

(叶子结点比二分支结点多一个)

二叉树第 i 层至多有 2^i-1 个结点(i≥1)

m 叉树第 i 层至多有 m^i-1 个结点(i≥1)

高度为 h 的二叉树至多有 2^h -1 个结点(满二叉树)

高度为 h 的 m 叉树至多有 (m^h -1) / (m-1) 个结点

3.1、完全二叉树的常考性质

对于完全二叉树，可以由结点数 n 推出度为 0、1和22的结点个数为 n₀、n₁和n₂

3.2、总结

4、二叉树的存储结构

4.1、顺序存储

#define MaxSize
struct TreeNode {
    ElemType value;			// 结点中的数据元素
    bool isEmpty;			// 结点是否为空
}
TreeNode t[MaxSize];
for(int i=0; i<MaxSize;i++){
    t[i].isEmpty = true;		// 初始化时所有结点标记为空
}

几个重要常考的基本操作：

上述是完全二叉树的存储，那么对于一棵不是完全二叉树而言又如何存储呢？如果不是完全二叉树，依然按层序将各结点顺序存储，那么无法从结点编号反映出结点点的逻辑关系。

所以对于二叉树的顺序存储中，**一定要把树的结点编号与完全二叉树对应起来。**这样我们就可以通过结点编号来算出左孩子、右孩子、父节点，但是无法通过结点编号 i 与结点总数 n 作比较，来进行判断。

我们可以看到，这样存储的话会浪费很多存储单元，所以对于二叉树的顺序存储结构，只适合存储完全二叉树。

4.2、链式存储

// 二叉树的结点(链式存储)
typedef struct BiTNode{
    ElemType data;					// 数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild; // 左、右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

如果一个结点没有左孩子，我们可以将对应的指针设为 null。
n 个结点，会有 2n 个指针，除了根结点之外，其他结点头上都会连一个指针，也就是说有 n-1 结点的头上也会连接有一个指针，所以这 2n 个指针中会有 (2n-(n-1)) = n +1 个指向 null。
- 所以 n 个结点的二叉链表共有 n + 1 个空链域（可以用于构造线索二叉树）

初始化二叉树

struct ElemType{
    int value;
};

// 二叉树的结点(链式存储)
typedef struct BiTNode{
    ElemType data;					// 数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild; // 左、右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

// 定义一棵空树
BiTree root = NULL;

// 插入根节点
root = (BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));
root->data = {1};							// 根节点数据域为 1
root->lchild = NULL;						// 根节点左孩子指向NULL
root->rchild = NULL;						// 根节点右孩子指向NULL

// 插入新结点
BiTNode *p = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));
p->data = {2};								// 新节点数据域为 2
p->lchild = NULL;							// 新节点左孩子为NULL
p->rchild = NULL;							// 新节点右孩子为NULL
root->lchild = p;				//新节点作为根结点的左孩子

根据链式存储我们要找到指定结点 p 的左/右孩子，只需要查看结点 p 的左右孩子指针指向的结点即可。
可是如何找到指定结点 p 的父结点呢，这样就只能从根开始遍历寻找。或者我们在定义二叉树结点时可以加一个父结点指针（考研一般不喜欢这么考）

// 二叉树的结点(链式存储)
typedef struct BiTNode{
    ElemType data;					// 数据域
    struct BiTNode *lchild,*rchild; // 左、右孩子指针
    struct BiTNode *parent;			// 父结点指针
}BiTNode,*BiTree;

5、二叉树的遍历算法

遍历：按照某种次序把所有结点都访问一遍
层次遍历：基于树的层次特性确定的次序规则
先/中/后序遍历：基于树的递归特性确定的次序规则

二叉树的递归特性：

要么是个空二叉树
要么就是由 “根节点 + 左子树 + 右子树” 组成的二叉树
先序遍历：根左右
中序遍历：左根右
后序遍历：左右根

我们先来看一个简单的例子：

上述是最简单的二叉树遍历，我们再来看一个：

5.1、先序遍历

先序遍历的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做
若二叉树非空
1. 访问根节点
2. 先序遍历左子树
3. 先序遍历后子树

// 先序遍历
void PreOrder(BiTree T){
    if(T != NULL){
        visit(T);				// 访问根结点
        PreOrder(T->lchild);	// 递归遍历左子树
        PreOrder(T->rchild);	// 递归遍历右子树
    }
}

5.2、中序遍历

中序遍历的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做
若二叉树非空
1. 先序遍历左子树
2. 访问根节点
3. 先序遍历右子树

// 中序遍历
void InOrder(BiTree T){
    if(T != NULL){
        InOrder(T -> lchild);		// 递归遍历左子树
        visit(T);					// 访问根节点
        InOrder(T -> rchild);		// 递归遍历右子树
    }
}

5.3、后序遍历

后序遍历的操作过程如下：

若二叉树为空，则什么也不做
若二叉树非空:
1. 先序遍历左子树
2. 先序遍历右子树
3. 访问根节点

// 后序遍历
Void PostOrder(BiTree T){
    if(T != NULL){
        PostOrder(T->lchild);			// 递归遍历左子树
        PostOrder(T->rchild);			// 递归遍历右子树
        visit(T);						// 访问根节点
    }
}

5.4、手算练习

// 访问一个结点:打印字符
Void visit(BiTNode *p){
    printf("%c",p->data);
}

这里的遍历和我们学习栈的表达式时很有关联，我们将这里的先序遍历的表达式转换为中缀表达式和后缀表达式，分别对应的就是中序遍历和后序遍历，只是中序遍历没有添加界限符

5.5、求树的深度(应用)

对于求树的深度，我们只需要选择左子树和右子树中深度最大的子树 + 1 就是树的深度

// 求树的深度
int treeDepth(BiTree T){
    if(T == NULL){								// 树是空树
        return 0;								// 深度为0
    }else{
        int l = treeDepth(T->lchild);			// 求左子树的深度
        int r = treeDepth(T->rchild);			// 求右子树的深度
        // 树的深度 = Max(左子树深度,右子树深度)+1
        return l>r ? l+1 : r+1;
    }
}

5.6、层序遍历

算法思想：

初始化一个辅助队列
让根结点入队
若队列非空，则队头结点出队，访问该结点，并将其左、右孩子插入队尾(如果有的话)
- 例如 A 结点在队头，让 A 出队，并将其左、右孩子 B、C 插入队尾

重复 3 直至队列为空
- B 此时为队头元素，B 出队，将 B 的左右孩子 D、E 插入队尾
- C 此时为队头元素，C 出队，将 C 的左右孩子 F、G 插入队尾

// 层序遍历
void LevelOrder(BiTree T){
    LinkQueue Q;				// 链队列
    InitQueue(Q);				// 初始化辅助队列
    BiTree p;					
    EnQueue(Q,T);				// 将根结点入队
    while(!IsEmpty(Q)){			// 队列不为空则循环
        DeQueue(Q,p);			// 队头结点出队
        visit(p);				// 访问出队结点
        if(p->lchild != NULL){
            EnQueue(Q,p->lchild);// 左孩子入队
        }
        if(p->rchild != NULL){
            EnQueue(Q,p->rchild);// 右孩子入队
        }
    }
    
}