CF 1603C(Extreme Extension-数学)

Posted 2021-12-06 nike0good

给定一个正整数序列$a_i$。每次操作可以把一个数$a$拆成$b,a-b$两个正整数放回原位置
一个序列的 extreme values 定义为将一个序列变为不降序列的最小操作步数。
你希望求出所有子串的 extreme values 的和。
序列长度$n\le 10^5,a_i\le 10^5$

只考虑一个序列的 extreme values：从末尾向前遍历，每次把数拆成尽量少的数，使最小值最大，且最大值小等于下一个数。
那么对于 $a_i,l,\cdots$
那至少要拆成$\lceil \frac{a_i}{l}\rceil$个，最小值为$\lfloor \frac{a_i}{\lceil \frac{a_i}{l}\rceil }\rfloor$，对答案贡献$\lceil \frac{a_i}{l}\rceil -1$次

对于每个$a_i$,$\lfloor \frac{a_i}{\lceil \frac{a_i}{l}\rceil }\rfloor$ 最多只有$2\sqrt{a_i}$个，也就是说下一个数是$\sqrt{a_i}$级别的。每次枚举$l$，复杂度$O(n\sqrt{max(a_i)}$

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define ForkD(i,k,n) for(int i=n;i>=k;i--)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i>0;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=next[p])  
#define Lson (o<<1)
#define Rson ((o<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,0x3f,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define MEMx(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define F (998244353)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define vi vector<int> 
#define pi pair<int,int>
#define SI(a) ((a).size())
#define Pr(kcase,ans) printf("Case #%d: %lld\\n",kcase,ans);
#define PRi(a,n) For(i,n-1) cout<<a[i]<<' '; cout<<a[n]<<endl;
#define PRi2D(a,n,m) For(i,n) { \\
						For(j,m-1) cout<<a[i][j]<<' ';\\
						cout<<a[i][m]<<endl; \\
						} 
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define gmax(a,b) a=max(a,b);
#define gmin(a,b) a=min(a,b);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a,ll b){return (a*b)%F;}
ll add(ll a,ll b){return (a+b)%F;}
ll sub(ll a,ll b){return ((a-b)%F+F)%F;}
void upd(ll &a,ll b){a=(a%F+b%F)%F;}
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
} 
#define MAXN (112345)
int n;
int a[MAXN];
vector<pair<int,int> > cur,ncur;
int main()
{
//	freopen("E.in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(0); 
	int T;cin>>T;
	while(T--) {
		ll ans=0;
		cin>>n;
		For(i,n) cin>>a[i];
		ForD(i,n) {
			ncur.pb(mp(a[i],1));
			for(auto v:cur) {
				int la=v.fi,t=v.se;
				int nd=(a[i]+la-1)/la;
				int e=a[i]/nd;
				ll nans=mul(nd-1,mul(t,i));
				upd(ans,nans);
				ncur.pb(mp(e,t));
			}
			cur.resize(0);
			sort(ALL(ncur));
			int sz=SI(ncur);
			ll c=0;
			for(int i=0;i<sz;i++) {
				upd(c,ncur[i].se);
				if(i==sz-1 || ncur[i].fi!=ncur[i+1].fi) {
					cur.pb(mp(ncur[i].fi,c));
					c=0;
				}	
			}
			ncur.resize(0);
		}	
		cout<<ans<<endl;
		cur.resize(0);
	} 
	
	
	return 0;
}