人工智能之数学基础篇—高等数学基础（下篇）
Posted Roar冷颜
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了人工智能之数学基础篇—高等数学基础（下篇）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
人工智能之数学基础篇—高等数学基础（下篇）
最后，来重点介绍一下方向导数和梯度。因为梯度下降法是机器学习领域非常重要的算法之一，也是应用广泛的优化算法之一。在本篇文章中，我将综合实例来重点介绍梯度下降法及其应用，并利用Python语言编程实现。查看本文之前，可以先阅读人工智能之数学基础篇—高等数学基础上篇和人工智能之数学基础篇—高等数学基础中篇。
6 方向导数
6.1 方向导数的定义
由二元函数偏导数的概念，我们知道函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) \\left ( x_{0},y_{0} \\right ) (x0,y0) 处的两个偏导数，分别是函数 f f f 在点 ( x 0 , y 0 ) \\left ( x_{0},y_{0} \\right ) (x0,y0) 处沿与 x x x 轴和 y y y 轴平行的方向的变化率。但是在许多实际问题中，仅仅研究函数沿这两个特殊方向的变化率是远远不够的，还需要研究函数沿各个不同方向的变化率。例如，在大气气象中，就需要研究温度、气压沿不同方向的变化率。这就是所谓的方向导数。
从上述的分析中可以看出，偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，方向导数本质上研究的是函数在某点处沿某特定方向的变化率问题。
比如 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在点 p ( x 0 , y 0 ) p\\left ( x_{0},y_{0} \\right ) p(x0,y0) 沿方向 l l l 的变化率。假设方向如图10所示， l l l 为 x O y xOy xOy 平面上以 p p p 为起始点的一条射线， p ′ p^{'} p′ 为方向 l l l 上的另一点。
由图10可知， p p p 与 p ′ p^{'} p′之间的距离 ∣ p p ′ ∣ = ρ = Δ x 2 + Δ y 2 \\left | pp^{'} \\right | = \\rho = \\sqrt{\\Delta x^{2} + \\Delta y^{2}} ∣∣∣pp′∣∣∣=ρ=Δx2+Δy2。
函数的增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \\Delta z = f\\left ( x_{0}+\\Delta x, y_{0}+\\Delta y \\right ) - f\\left ( x_{0},y_{0} \\right ) Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)。
考虑函数的增量与这两点间距离的比值，当
p
′
p^{'}
p′ 沿着方向
l
l
l 趋于
p
p
p 时，如果这个比的极限存在，则称这个极限为函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 在点
p
p
p 沿方向
l
l
l 的方向导数，记作
∂
f
∂
l
\\frac{\\partial f}{\\partial l}
∂l∂f，即
∂
f
∂
l
=
lim
ρ
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
ρ
\\frac{\\partial f}{\\partial l}= \\lim_{\\rho \\rightarrow 0}\\frac{f\\left ( x_{0}+\\Delta x, y_{0}+\\Delta y \\right ) - f\\left ( x_{0},y_{0} \\right )}{\\rho }
∂l∂f=ρ→0limρf(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
从定义可知，当函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在点 p ( x 0 , y 0 ) p\\left ( x_{0},y_{0} \\right ) p(x0,y0) 的偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}\\left ( x_{0},y_{0} \\right ) fx(x0,y0)、 f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}\\left ( x_{0},y_{0} \\right ) fy(x0,y0) 存在时，函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在 p p p 点沿着 x x x 轴正向单位向量 e 1 = { 1 , 0 } e_{1}=\\left \\{ 1,0 \\right \\} e1={1,0}， y y y 轴正向单位向量 e 2 = { 0 , 1 } e_{2}=\\left \\{ 0,1 \\right \\} e2={0,1} 的方向导数存在，且其值依次为 f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}\\left ( x_{0},y_{0} \\right ) fx(x0,y0)， f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}\\left ( x_{0},y_{0} \\right ) fy(x0,y0)；函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在 p p p以上是关于人工智能之数学基础篇—高等数学基础（下篇）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章