机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：路径与连通

Posted 2021-12-05 海轰Pro

文章目录

• 前言
• 系列文章
• 2.1 路径与连通
• • 定义2.1
  • 定义2.2
  • • 例2.1
    • 例2.3
  • 定义2.3
  • 定义2.4
  • 定理2.1
  • • 例2.3
    • 例2.4
• 结语

前言

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文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
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系列文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（1）：图的基本概念

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示

2.1 路径与连通

定义2.1

在无向图$G=(V,E,\psi )$中，设$\psi (e_i)={\nu }_{i-1}{\nu }_i(i=1,2,...,k)$:

• 序列${\nu }_0{e}_1{\nu }_1{e}_2{\nu }_2...e_k{\nu }_k$称为从${\nu }_0$到${\nu }_k$的一条通路，记为$W_{{\nu }_0{\nu }_k}$
• 边不重复但顶点可以重复的通路称为道路，记为$T_{{\nu }_0{\nu }_k}$
• 顶点不重复的通路称为路径，记为$P_{{\nu }_0{\nu }_k}$

在一个简单图里，通路可表示为一个顶点序列${\nu }_0{\nu }_1{\nu }_2,...,{\nu }_k$。

显然，若$u$与$v$之间存在通路，则$u$与$v$之间一定存在路径

定义2.2

设$G$是一个无向图：

• 若$G$中存在路径$P_{uv}$，则称顶点$u$与$v$在$G$中连通
• 若$G$中任意两个顶点都连通，则称$G$连通
• $G$的最大连通子图称为$G$的连通片（或$G$的分图），用$w(G)$表示$G$的连通片数目

$G$是连通图当且仅当$w(G)=1$

例2.1

有$2n$个电话交换台，每个台与至少$n$个台有直通线路，则其中任意两台之间可以通话

证明

问题可以转化为：$2n$个顶点的简单图，记作$G$，每个顶点的次数至少为$n$，则$G$是连通的

反证法，首先假设图$G$不连通，则$G$至少含有两个连通片

我们选择顶点数较少的那个连通片，可以得到此连通片中的顶点数量最多是$n$

一共$2n$个，分为两部分，平均分就是$n$和$n$，任一连通片顶点数目都是$n$
若不是平均分，则肯定有一个顶点数目大于$n$ ，另一个小于$n$
那么较少的那个连通片中的顶点数目也就小于$n$
综上，选择顶点数较少的那个连通片时，其顶点数量最多是$n$（小于等于$n$）

而在此连通片中，顶点的次数最大只能是$n-1$，每个顶点的次数至少为$n$相矛盾

顶点数目为$n$时，顶点次数最大也就是$n-1$
因为一个顶点最多只能与其余$n-1$个顶点相连

故，假设不成立

说明：$2n$个顶点的简单图，记作$G$，每个顶点的次数至少为$n$，则$G$是连通的

例2.3

图中只有两个奇次顶点，则这两个顶点必定连通

证明

反证法，假设这两个顶点不连通

则一定是分别属于两个不同的连通片

对其中一个连通片进行分析：

• 因为图中一共只有两个奇次顶点
• 而这两个奇次顶点又分属不同的连通片
• 那么在其中一个连通片中，一定是只含有一个奇次顶点
• 这与在任意一个图中，奇次顶点的个数一定是偶数相矛盾

故，假设不成立

说明：图中只有两个奇次顶点，则这两个顶点必定连通

定义2.3

（1）起点和终点重合的路径称为圈，记为$C_k$，其中$k$为圈所含的边的数目

（2）一条路径（或圈）所含边的数目称为这条路径（或圈）的长度

（3）长度为奇数的圈称为奇圈，记为$C_{2n+1}$；长度为偶数的圈称为偶圈，记为$C_{2n}$

定义2.4

$G$中顶点$u$到$v$的最短路径的长度，称为$u$与$v$之间的距离，记为$d(u,v)$

定理2.1

$G$是二部图当且仅当$G$不含奇圈

证明

证必要性：$G$是二部图$\Rightarrow$$G$不含奇圈

若$G$中无圈，则必然无奇圈

若$G$中有圈，假设为$C=v_0{v}_1{v}_2....v_k{v}_0（起点、终点为v_0）$

假设$v_{机器学习｜数学基础Mathematics\; for\; Machine\; Learning系列之图论：树及其性质}$

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