2021年中国大学生程序设计竞赛 女生专场 - 热身赛 Problem C. 口算训练（质因子分解）

Posted 2021-12-05 Frozen_Guardian

题目分析：判断 $x$ 是 $y$ 的倍数，等价于质因子分解后， $y$ 中的每个质因子的出现次数都小于等于其在 $x$ 中的出现次数。

那么对于每次询问 $[l,r,d]$，实质上就是将 $d$ 质因子分解后，判断一下每个质因子在区间 $[l,r]$ 中的出现次数。

问题转换为了如何快速求解区间内某个质因子的出现次数。

因为本题的值域特别小，所以考虑按值域分块，$\lfloor \sqrt{100000}\rfloor =316$：

1. 小于等于 $316$ 的质因子只有 $65$ 个，预处理出 $65$ 个前缀和暴力维护即可。
2. 大于 $316$ 的质因子在 $d$ 中至多出现一次，所以问题又转换为了判断区间存在问题。

对于上面的第一种情况，暴力 $O(n\ast 65)$ 暴力维护即可；第二种情况的话也可以用二分轻松解决，时间复杂度 $O(n\log n)$，空间复杂度均摊下来是 $O(n)$ 的。

然后 $d$ 的质因子至多有 $\log d$ 个，所以对于每次询问的复杂度就是 $O(\log d+\log n)$

其实可以将本题带修，前缀和改成线段树，vector 改成 set，复杂度多一个 $\log n$ 而已

代码：

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+100;
const int pcnt=65;
const int pri[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313};
int sum[65][N];
vector<int>node[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		for(int i=0;i<N;i++) {
			node[i].clear();
		}
		int n,m;
		read(n),read(m);
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			int x;
			read(x);
			for(int j=0;j<pcnt;j++) {
				while(x%pri[j]==0) {
					x/=pri[j];
					sum[j][i]++;
				}
			}
			if(x>1) {
				node[x].push_back(i);
			}
		}
		for(int j=0;j<pcnt;j++) {
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				sum[j][i]+=sum[j][i-1];
			}
		}
		while(m--) {
			int l,r,x;
			bool flag=true;
			read(l),read(r),read(x);
			for(int i=0;i<pcnt;i++) {
				if(x%pri[i]==0) {
					int cnt=0;
					while(x%pri[i]==0) {
						x/=pri[i];
						cnt++;
					}
					flag&=(sum[i][r]-sum[i][l-1])>=cnt;
				}
			}
			if(x>1) {
				int pos=*lower_bound(node[x].begin(),node[x].end(),l);
				if(pos>r) {
					flag=false;
				}
			}
			puts(flag?"Yes":"No");
		}
	}
	return 0;
}