聚烷撑乙二醇（数学+期望）

Posted 2021-12-04 ikvrxt

problem

有 $n$ 个随机数生成器，第 $i$ 个生成器可以均匀随机地生成 $[L_i,R_i]$ 内的一个实数。

现在你要玩个游戏，从第 $1$ 个生成器到第 $n$ 个生成器，每次当前生成器会生成一个数，你需要选择：

1. 相信鲁迅，拿走这个数，游戏结束。
2. 相信鲁迅，放弃这个数和这个生成器，使用下一个生成器（前提是下一个生成器必须存在）。

求使用使得期望答案最大的策略时，期望答案是多少。

solution

observation：对于一个均匀随机生成 $[L_i,R_i]$ 的生成器，生成数的期望为 $\frac{L_i+R_i}{2}$。

显然，如果上一个生成器产生的期望为 $x$，下一个生成器产生数的期望 $y$，且 $x<y$，肯定是选择下一个生成器。

更一般地，从后往前推。

设 $f_i:$ 从第 $i$ 个生成器开始游戏得到的最大期望。

比较与 $L_{i-1},R_{i-1}$ 的大小关系。

• $f_i>R_{i-1}$，则 $f_{i-1}=f_i$
• $f_i<L_{i-1}$，则 $f_{i-1}=\frac{L_{i-1}+R_{i-1}}{2}$
• $\text{otherwise}$，$k=\frac{f_i-L_{i-1}}{R_{i-1}-L_{i-1}}\Rightarrow f_{i-1}=k\ast f_i+(1-k)\ast \frac{(f_i+R_{i-1})}{2}$

计算方法就是加权平均。

code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define double long double
#define maxn 1000005
#define eps 1e-7
int n;
double l[maxn], r[maxn], f[maxn];

int main() {
    freopen( "pag.in", "r", stdin );
    freopen( "pag.out", "w", stdout );
    scanf( "%d", &n );
    for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%Lf %Lf", &l[i], &r[i] );
    f[n] = ( l[n] + r[n] ) / 2;
    for( int i = n - 1;i;i -- ) {
        if( f[i + 1] - r[i] >= eps ) f[i] = f[i + 1];
        else if( f[i + 1] - l[i] >= eps ) {
            double k = ( f[i + 1] - l[i] ) / ( r[i] - l[i] );
            f[i] = k * f[i + 1] + ( 1 - k ) * ( r[i] + f[i + 1] ) / 2;
        }
        else f[i] = ( l[i] + r[i] ) / 2;
    }
    double ans = 0;
    for( int i = 1;i <= n;i ++ ) ans = max( ans, f[i] );
    printf( "%.5Lf\\n", ans );
    return 0;
}