史上最通俗易懂的异或运算详解含例题及应用

Posted 2021-12-04 来老铁干了这碗代码

一. 什么是异或？

1. Wikipedia的解释：

在逻辑学中，逻辑算符异或（exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑析取类型，符号为 XOR 或 EOR 或 ⊕（编程语言中常用^）。但与一般的逻辑或不同，异或算符的值为真仅当两个运算元中恰有一个的值为真，而另外一个的值为非真。转化为命题，就是：“两者的值不同。”或“有且仅有一个为真。”

2. 定义

1 ⊕ 1 = 0

0 ⊕ 0 = 0

1 ⊕ 0 = 1

0 ⊕ 1 = 1

3. 真值表

Y	B = 0	B = 1
A = 0	0	1
A = 1	1	0

4, 表达式：

$Y=A’\cdot B+A\cdot B’$

解释：我使用·作为与，我使用+作为或，我使用’作为否(本来应该使用头上一横，但是太难编辑了，就使用了’）；

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二. 异或有什么特性？

根据定义我们很容易获得异或两个特性：

$$恒等律：X\oplus 0=X$$

$$归零律：X\oplus X=0$$

然后我们使用真值表可以证明：

（1）交换律

A ⊕ B = A' · B + A · B'
B ⊕ A = B' · A + B · A'

因为·与和+或两个操作满足交换律，所以：

$A\oplus B=B\oplus A$

（2）结合律

(A ⊕ B) ⊕ C
= (A' · B + A · B') ⊕ C
= (A' · B + A · B')' · C + (A' · B + A · B') · C '
= ((A' · B)' · (A · B')')· C + A' · B · C ' + A · B' · C '
= ((A + B') · (A' + B))· C + A' · B · C ' + A · B' · C '
= (A · B + A' · B') · C + A' · B · C ' + A · B' · C '
= A · B · C + A' · B' · C + A' · B · C ' + A · B' · C '

你可以使用同样推导方法得出（请允许我偷懒一下，数学公式敲起来不容易 +_+）：

A ⊕ (B ⊕ C)
= A · B · C + A' · B' · C + A' · B · C ' + A · B' · C '

证明过程中使用了如下几个方法（·与 +或 '否）：

·与 +或交换律：

A · B = B · A
A + B = B + A

·与 +或结合律：

(A · B) · C = A · (B · C)
(A + B) + C = A + (B + C)　

·与 +或分配律：

A · (B + C)= A · B + A · C
A + B · C = (A + B) · (A + C)

摩尔定理

(A · B)' = A' + B'
(A + B)' = A' · B'

结论：

交换律：A ⊕ B = B ⊕ A 结合律：A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C

有了归零率和结合律，我们就可以轻松证明：

自反：A ⊕ B ⊕ B = A ⊕ 0 = A

可能这些特性会很顺其自然的理解，但是如果你在解决问题的时候，你可能会忘记异或的这些特性，所以适当的应用可以让我们加深对异或的理解；

A ⊕ 1 = A';
A ⊕ 0 = A;
A ⊕ A = 0;
A ⊕ A' = 1;

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异或有什么神奇之处（应用）？

说明：以下的的异或全部使用符号^

可能你已经被乱七八糟的公式和演算搞的有点烦了，不就是很简单的异或运算吗？还解释的那么复杂，嘿嘿，不要着急，打好了基础，你就站在了巨人的肩膀，让我们开始异或的神奇之旅吧；

（1）快速比较两个值

先让我们来一个简单的问题；判断两个int数字a，b是否相等，你肯定会想到判断a - b == 0，但是如果判断a ^ b == 0效率将会更高，但是为什么效率高呢？就把这个给你当家庭作业吧。

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（2）我们可以使用异或来使某些特定的位翻转，因为不管是0或者是1与1做异或将得到原值的相反值；

0 ^ 1 = 1

1 ^ 1 = 0

例如：翻转10100001的第6位， 答案：可以将该数与00100000进行按位异或运算;10100001 ^ 00100000 = 10000001

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（3）我们使用异或来判断一个二进制数中1的数量是奇数还是偶数

例如：求10100001中1的数量是奇数还是偶数； 答案：1 ^ 0 ^ 1 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 1 = 1,结果为1就是奇数个1，结果为0就是偶数个1； 应用：这条性质可用于奇偶校验（Parity Check），比如在串口通信过程中，每个字节的数据都计算一个校验位，数据和校验位一起发送出去，这样接收方可以根据校验位粗略地判断接收到的数据是否有误

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（4）校验和恢复

校验和恢复主要利用的了异或的特性：IF a ^ b = c THEN a ^ c = b 应用：一个很好的应用实例是RAID5，使用3块磁盘（A、B、C）组成RAID5阵列，当用户写数据时，将数据分成两部分，分别写到磁盘A和磁盘B，A ^ B的结果写到磁盘C；当读取A的数据时，通过B ^ C可以对A的数据做校验，当A盘出错时，通过B ^ C也可以恢复A盘的数据。

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（5）经典题目：不使用其他空间，交换两个值

a = a ^ b;
b = a ^ b; //a ^ b ^ b = a ^ 0 = a;
a = a ^ b;

原理：
第一步没啥好说a = a^b
第二步：b=b^a ,也就是 b=b^a^b ,也就是b=a^0,此处换值
第三步：a=a^b 也就是a=a^b^a,也就是b

（6）最最常出现的面试题：一个整型数组里除了N个数字之外，其他的数字都出现了两次，找出这N个数字；

比如，从{1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 4, 5}中找出单个的数字： 1

让我们从最简单的，找一个数字开始；

题目：（LeetCode 中通过率最高的一道题） Single Number: Given an array of integers, every element appears twice except for one. Find that single one. Note:Your algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory? 思路： 拿到这个题目，本能的你会使用排序（数字文字我们常常需要排序），排序后可以来判断是否数字成对出现，思路很明显，但是排序的算法上限是 O(nlogn)，不符合题目要求；

学习了强大的异或，我们可以轻松的使用它的特性来完成这道题目：
（1）A ^ A = 0;
（2）异或满足交换律、结合律； 所有假设有数组：A B C B C D A使用异或：

A ^ B ^ C ^ B ^ C ^ D ^ A
= A ^ A ^ B ^ B ^ C ^ C ^ D
= 0 ^ 0 ^ 0 ^ D
= 0 ^ D
= D

是不是很神奇？时间复杂度为O(n)，当然是线性的，空间复杂度O(1)；
代码：

class Solution {
public:
	int singleNumber(int A[], int n) {
		//特殊情况1,2
		if(n<=0) return -1;
		if(n==1) return A[0];
		int result = 0;
		for (int i = 0; i < n; i ++) {
			result = result ^ A[i];
		}
		return result;
	}
};

接下来让我们增加一些难度：

题目：一个整型数组里除了两个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字？

思路： 第一步：肯定还是像我们上面的解法一样，所有数进行异或，不过最终得到的结果是 a 和 b（假设 a 和 b 是落单的数字）两个值的异或结果 a^b，没有直接得到 a 和 b 的值；

第二步：想办法得到 a 或者 b，假设 结果 为 00001001（F肯定不为0），根据结果 的值我们发现，如果某一位的值为1，则在两个出现一次的数字中，在这一位上，一定一个是1，一个是0。

进而可以将该整型数组分为两组， 第一组的数在这一位上的值为1，第二组的数在这一位上的值为0

进而可以推出：第一组的数中包含一个只出现一次的数， 第二组的数中包含一个只出现一次的数。

最后将第一组的数全部异或，得到的值就是第一组中只出现一次的数，第二组中的数同理。 最后得到了两个只出现一次的数。

这样我们的时间复杂度是 O(n)，空间复杂度是 O(1) 代码：

#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

//输出 num 的低位中的第一个 1 的位置
int getFirstOneBit(int num) { 
	return num & ~(num - 1); // num 与 -num 相与找到
}

void findTwo(int *array, int length){
	int res = 0;
	int firstOneBit = 0;
	int a = 0;
	int b = 0;
	for (int i = 0; i < length; i++) {
		res ^= array[i];
	}
	assert(res != 0); //保证题目要求，有两个single的数字
	
	firstOneBit = getFirstOneBit(res);
	for (int i = 0; i < length; ++i) {
		if(array[i] & firstOneBit) {
			a ^= array[i];
		}
	}
	b = res ^ a;
	cout << "a: " << a << endl;
	cout << "b: " << b << endl;
}


int main() {
	int array1[] = {2, 5, 8, 2, 5, 8, 6, 7};
	findTwo(array1, 8);
	return 0;
}

力扣题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/single-number-iii/