ABC223 G - Vertex Deletion(换根dp)

Posted 2021-12-03 issue是fw

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考虑定义$f[i][0/1]$表示子树$i$内能匹配的最大数目(状态$0/1$表示节点$i$是否被使用)

$f$数组做一遍树形$dp$就可以得到.然后考虑换根,也就是当除掉点$u$后整棵树的最大匹配数目

想要得到除去$u$后的最大匹配数分为两部分,一个是$u$子树内,这部分显然就是

∑ ( u , v ) max ⁡ {   f [ v ] [ 0 ] , f [ v ] [ 1 ]   } \\sum\\limits_{(u,v)}\\max\\{\\ f[v][0],f[v][1]\\ \\} (u,v)∑​max{ f[v][0],f[v][1] }

第二部分是以$u$为根节点时往父亲节点延申的子树的最大匹配数记作$g[u][0/1]$

于是去掉节点$u$的最大匹配数就是这两部分的和

考虑一个递推,也就是对于$u$的儿子$v$,能否处理出对应的$g[v][0],g[v][1]$

①.如果$v$被使用,只能和$u$匹配,此时的最大匹配数为

$$g[u][0]+1+\sum _{z\in so{n}_u\&\&z!=v}\max (f[z][0],f[z][1])$$

②.考虑如果$v$不被使用,那么$u$又分是否参与和儿子匹配两种情况

若$u$不参与和儿子的匹配,显然最大匹配数为

$$\max (g[u][0],g[u][1])+\sum _{z\in so{n}_u\&\&z!=v}\max (f[z][0],f[z][1])$$

若$u$参与和儿子的匹配,设和儿子$k$匹配,最大匹配数为

g [ u ] [ 0 ] + 1 + f [ k ] [ 0 ] + ∑ z ∈ s o n u & & z ! = k & & z ! = v max ⁡ {   f [ z ] [ 0 ] , f [ z ] [ 1 ]   } g[u][0]+1+f[k][0]+\\sum\\limits_{z\\in son_u\\&\\&z!=k\\&\\&z!=v}\\max\\{\\ f[z][0],f[z][1]\\ \\} g[u][0]+1+f[k][0]+z∈sonu​&&z!=k&&z!=v∑​max{ f[z][0],f[z][1] }

看上去记录一个最大值为$m{x}_1$来对节点$v$转移就行了,但是如果此时$k=v$怎么办??

所以还需要记录以下次大值$m{x}_2$,当转移节点$v$可以作为最大转移节点,就是用$m{x}_2$来转移

至此,已经完成了数组$g$的递推,我们只需要知道$g$数组的初值

也就是$g[1][0]=0,g[1][1]=-inf$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 1e9;
const int maxn = 3e5+10;
int n,mx,ans,f[maxn][2];
vector<int>vec[maxn];
void dfs1(int u,int fa = 0)
{
	bool flag = 1;
	for(auto v:vec[u] )
	{
		if( v==fa )	continue;
		dfs1( v,u ); flag = 0;
		f[u][0] += max( f[v][0],f[v][1] );
	}
	for(auto v:vec[u] )
	{
		if( v==fa )	continue;
		f[u][1] = max( f[u][1],f[u][0]-max( f[v][0],f[v][1] )+1+f[v][0] );
	}
	if( flag )	f[u][1] = -inf;//不可能 
}
void dfs2(int u,int fa = 0,int f0 = 0,int f1 = -inf )
{
	int now = 0;
	for(auto v:vec[u] )
	{
		if( v==fa )	continue;
		now += max( f[v][0],f[v][1] );
	}
	if( now+f0==mx )	ans++;
	int mx1 = 0, mx2 = 0;
	for(auto v:vec[u] )//节点u去匹配节点v时的最大和次大 
	{
		int nw = 0;
		if( v==fa )	continue;
		nw = now+f0-max( f[v][0],f[v][1] )+f[v][0]+1;
		if( nw>mx1 )	mx2 = mx1, mx1 = nw;
		else if( nw>mx2 )	mx2 = nw;
	}
	for(auto v:vec[u] )
	{
		if( v==fa )	continue;
		int nw = now+f0-max( f[v][0],f[v][1] )+f[v][0]+1;//当u,v匹配时
		int z = max( f[v][0],f[v][1] );
		int rx = now+f0+1-z;//(u,v)匹配起来 
		int ex = now+max(f0,f1)-z;//u不参与和儿子的匹配 
		if( nw==mx1 )	dfs2( v,u, max( ex,mx2-z ), rx );
		else	dfs2( v,u, max( ex,mx1-z ) ,rx ); 
	}
}
int main()
{
	cin >> n;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		int l,r; cin >> l >> r;
		vec[l].push_back( r ); vec[r].push_back( l );	
	}
	dfs1( 1 );
	mx = max( f[1][0],f[1][1] );
	dfs2( 1 );
	cout << ans;
}