Educational Codeforces Round 116 (Rated for Div. 2) E. Arena(组合数,DP )

Posted 2021-12-03 issue是fw

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考虑第一批人在第$k$轮死掉,那么这些死掉的人血量在$[(k-1)\ast (n-1)+1,k\ast (n-1)]$范围内

定义$f[i][j]$表示已经死了$i$个人,且剩下的$n-i$个人可以是$[j+1,x]$的任何血量

转移的时候枚举下一批过了$k$轮死掉$q$人,那么容易推得下一批人的血量范围是

$$[j+(k-1)\ast (n-i-1)+1,j+k\ast (n-i-1)]$$

而且,剩下的$n-(i+q)$人血量大于$j+k\ast (n-i-1)$

转移就非常简单了,枚举下一批人过了$k$轮死$q$个

我们先令$l=j+(k-1)\ast (n-i-1)+1$,$r=j+k\ast (n-i-1)$

$$f[i+q][r]+=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{q}\right)\ast f[i][j]\ast (r-l+1{)}^q$$

意思是从剩余的$n-i$个人选出$q$个人来死,每个人血量都应该是区间内的值有$r-l+1$种取法

看上去复杂度是$O(n^4)$,实际上由于有效状态有限,循环不满,甚至比$O(n^3)$还快

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 3e5+10;
const int mod = 998244353;
int n,x,f[509][509],fac[509],base[509][509],c[509][509];
void init()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i=1;i<=500;i++) fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
    for(int j=1;j<=500;j++)	base[0][j] = 1;
    for(int j=1;j<=500;j++)
	for(int i=1;i<=500;i++)
		base[i][j] = base[i-1][j]*j%mod; 
	//i个人最大血量为j时的方案(不考虑任何顺序)
	for(int i=0;i<=500;i++)
	{
		c[i][0] = 1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j] = ( c[i-1][j-1]+c[i-1][j] )%mod;
	}
}
int C(int n,int m) { return c[n][m]; }
signed main()
{
    init();
	cin >> n >> x;
	f[0][0] = 1;
	for(int i=0;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=x;j++)
    {
        if( f[i][j]==0 )    continue;
        for(int q=1;q<=n-i-1;q++)//本次死人数目
        for(int k=1; ;k++)//过了k轮再死的
        {
            int l = j+(k-1)*(n-i-1)+1, r = j+k*(n-i-1);
            if( r>=x )  break;
            f[i+q][r] = ( f[i+q][r]+C(n-i,q)*f[i][j]%mod*base[q][r-l+1]%mod )%mod;
        }
    }
    int ans = 1, res = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)	ans = ans*x%mod;
    for(int i=0;i<=x;i++)   res = ( res+f[n-1][i]*(x-i)%mod )%mod;
    ans = ( ans-res )%mod;
    cout << ( ans%mod+mod )%mod;
}