Codeforces Round #751 (Div. 2)E. Optimal Insertion(结论,分治)

Posted 2021-12-03 issue是fw

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结论一

对$b$排序,设$b_i$放在$a_{p_i}$的前面,那么最优策略下可以是

$p_1<p_2<p_3......$的一组解

可以反证,如果最有策略不满足上式,也就是存在$i,j$满足$b_i<b_j\&\&p_i>p_j$

那么对于$a$数组来说,由在于$[1,p_j-1]$和$[p_i,n]$的元素和$b_i,b_j$的相对位置没变不需要考虑

而如果我们交换$b_i,b_j$,显然$a[p_j........p_i-1]$和$b_i,b_j$形成的逆序变少,证毕.

结论二

对于$b_i<b_j$,若使$b_i$取到最优位置$p_i$,$b_j$取到最优位置$p_j$,满足$p_j>p_i$

也就是对于每个$b_i$找到自身最优的放置位置即可

暴力找是$O(nm)$的,考虑分治法

先找$b_{mid}$的位置$p_{mid}$,然后分成$[1,p_{mid}]$和$[p_{mid+1},n+1]$递归找

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 4e6+10;
int n,m,a[maxn],b[maxn];
vector<int>vec,w[maxn];
int siz,sum[maxn];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x){for( ; x<=siz ; x+=lowbit(x)) sum[x]++; }
int ask(int x){
    int ans = 0;
    for( ; x ; x-=lowbit(x)) ans += sum[x];
    return ans;
}
void solve(int l,int r,int L,int R)
{
    if( l>r )   return;
    int mid = (l+r>>1), inv = 0, mi = 0, id = L;
    for(int i=L+1;i<=R;i++)//放在a[i]的后面
    {
        inv += ( a[i]>b[mid] )?1:( a[i]<b[mid]?-1:0 );
        if( inv<mi )    mi = inv, id = i;
    }
    w[id].push_back( mid );
    solve(l,mid-1,L,id ); solve( mid+1,r,id,R );
}
int main()
{
    int t; cin >> t;
    while( t-- )
    {
        cin >> n >> m;
        for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d",&a[i] ),vec.push_back( a[i] );
        for(int i=1;i<=m;i++)   scanf("%d",&b[i] ),vec.push_back( b[i] );
        sort( b+1,b+1+m ); sort( vec.begin(),vec.end() );
        solve( 1,m,0,n );
        vec.erase( unique( vec.begin(),vec.end() ), vec.end() );
        siz = vec.size();
        for(int i=0;i<=2*siz;i++) sum[i] = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)   a[i] = lower_bound( vec.begin(),vec.end(),a[i] )-vec.begin()+1;
        for(int i=1;i<=m;i++)   b[i] = lower_bound( vec.begin(),vec.end(),b[i] )-vec.begin()+1;
        long long ans = 0;
        for(int i = n; i>=0; i--)
        {
            for(auto v:w[i] )   ans += ask( b[v]-1 );
            for(auto v:w[i] )   add( b[v] );
            if( i ) ans += ask( a[i]-1 ), add( a[i] );
        }
        printf("%lld\\n",ans );
        vec.clear();
		for(int i=0;i<=n+1;i++)	w[i].clear(); 
    }
}