路径交叉，有点难度
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了路径交叉，有点难度相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
难度困难104
给你一个整数数组 distance 。
从 X-Y 平面上的点 (0,0) 开始，先向北移动 distance[0] 米，然后向西移动 distance[1] 米，向南移动 distance[2] 米，向东移动 distance[3] 米，持续移动。也就是说，每次移动后你的方位会发生逆时针变化。
判断你所经过的路径是否相交。如果相交，返回 true ；否则，返回 false 。
示例 1：
输入：distance = [2,1,1,2] 输出：true
示例 2：
输入：distance = [1,2,3,4] 输出：false
示例 3：
输入：distance = [1,1,1,1] 输出：true
提示：
1 <= distance.length <= 1051 <= distance[i] <= 105
通过次数8,755提交次数21,108
我们先通过枚举各种移动方案来归纳路径交叉的规律。
第 11 次移动和第 22 次移动的情况：
因为这两次移动都是各自方向上的第一次移动，所以这两次移动距离将作为之后移动距离的参考系，但本身没有意义。因此，此时只有 2-12−1 一种情况。
第 33 次移动的情况：
此时一定是 2-12−1，第 33 次移动距离相较于第 11 次移动距离，有三种情况：
3-13−1：第 33 次移动距离小于第 11 次移动距离；
3-23−2：第 33 次移动距离等于第 11 次移动距离；
3-33−3：第 33 次移动距离大于第 11 次移动距离。
第 44 次移动的情况：
当前 33 次移动是 3-13−1 时，第 44 次移动距离相较于第 22 次移动距离，有两种情况：
4-14−1：第 44 次移动距离小于第 22 次移动距离；
4-24−2 和 4-34−3：第 44 次移动距离大于等于第 22 次移动距离相同，出现路径交叉。
根据以上结果，我们发现 3-13−1 具有如下性质：如果在当前的第 ii 次移动之后，存在第 jj 次移动（j > ij>i）的距离大于等于第 j-2j−2 次移动的距离，则会出现路径交叉。另外，我们发现 4-14−1 具有和 3-13−1 相同的性质，于是 4-14−1 等价于 3-13−1；不需要继续讨论 4-14−1 的后续情况。
当前 33 次移动是 3-23−2 时，第 44 次移动距离相较于第 22 次移动距离，有两种情况：
4-44−4：第 44 次移动距离小于第 22 次移动距离；
4-54−5 和 4-64−6：第 44 次移动距离大于等于第 22 次移动距离，出现路径交叉。
根据以上结果，我们发现 3-23−2 具有和 3-13−1 相同的性质，于是 4-44−4 等价于 3-23−2，并间接地等价于 3-13−1；不需要继续讨论 4-44−4 的后续情况。
当前 33 次移动是 3-33−3 时，第 44 次移动距离相较于第 22 次移动距离，有三种情况：
4-74−7：第 44 次移动距离小于第 22 次移动距离；
4-84−8：第 44 次移动距离等于第 22 次移动距离；
4-94−9：第 44 次移动距离大于第 22 次移动距离。
根据以上结果，我们发现 4-74−7 也具有和 3-13−1 相同的性质，于是 4-74−7 等价于 3-13−1；不需要继续讨论 4-74−7 的后续情况。
第 55 次移动的情况：
此时还需要讨论前 44 次移动是 4-84−8 或 4-94−9 的情况。
当前 44 次移动是 4-84−8 时，第 55 次移动距离相较于第 33 次移动距离和第 11 次移动距离，有两种情况：
5-15−1：第 55 次移动距离小于第 33 次移动距离减第 11 次移动距离的差；
5-25−2 和 5-35−3：第 55 次移动距离大于等于第 33 次移动距离减第 11 次移动距离的差，出现路径交叉。
根据以上结果，我们发现 5-15−1 也具有和 3-13−1 相同的性质，于是 5-15−1 等价于 3-13−1；不需要继续讨论 5-15−1 的后续情况。
当前 44 次移动是 4-94−9 时，第 55 次移动距离相较于第 33 次移动距离和第 11 次移动距离，有三种情况：
5-45−4：第 55 次移动距离小于第 33 次移动距离减第 11 次移动距离的差；
5-55−5、5-65−6 和 5-75−7：第 55 次移动距离大于等于第 33 次移动距离减第 11 次移动距离的差，且小于等于第 33 次移动距离；
5-85−8：第 55 次移动距离大于第 33 次移动距离。
根据以上结果，我们发现 5-45−4 也具有和 3-13−1 相同的性质，于是 5-15−1 等价于 3-13−1；不需要继续讨论 5-45−4 的后续情况。
第 66 次移动的情况：
此时还需要讨论前 55 次移动是 5-55−5、5-65−6 或 5-75−7 的情况，以及前 55 次移动是 5-85−8 的情况。
当前 55 次移动是 5-55−5、5-65−6 或 5-75−7 时，我们不妨以 5-65−6 为例，第 66 次移动距离相较于第 44 次移动距离和第 22 次移动距离，有两种情况：
6-16−1：第 66 次移动距离小于第 44 次移动距离减第 22 次移动距离的差；
6-26−2 和 6-36−3：第 66 次移动距离大于等于第 44 次移动距离减第 22 次移动距离的差，出现路径交叉。
根据以上结果，我们发现 6-16−1 也具有和 3-13−1 相同的性质，于是 6-16−1 等价于 3-13−1；不需要继续讨论 6-16−1 的后续情况。
当前 55 次移动是 5-85−8 时，第 66 次移动距离相较于第 44 次移动距离和第 22 次移动距离，有三种情况：
6-46−4：第 66 次移动距离小于第 44 次移动距离减第 22 次移动距离的差；
6-56−5、6-66−6 和 6-76−7：第 66 次移动距离大于等于第 44 次移动距离减第 22 次移动距离的差，且小于等于第 44 次移动距离；
6-86−8：第 66 次移动距离大于第 44 次移动距离。
根据以上结果，我们发现 6-46−4 与 5-45−4 的情况类似，都具有 3-13−1 的性质；6-56−5、6-66−6、6-76−7 与 5-55−5、5-65−6、5-75−7 的情况类似，后续可能出现的情况类似于 6-16−1、6-26−2 和 6-36−3；6-86−8 与 5-85−8 的情况类似，后续可能出现的情况类似 6-46−4、6-56−5、6-66−6、6-76−7 和 6-86−8。
至此，我们已经通过归纳基本得到了路径交叉的规律。
方法一：归纳法（归纳路径交叉的情况）
思路和算法
根据归纳结果，我们发现所有可能的路径交叉的情况只有以下三类：
第 11 类，如上图所示，第 ii 次移动和第 i-3i−3 次移动（包含端点）交叉的情况，例如归纳中的 4-24−2、4-34−3、4-54−5 和 4-64−6。
这种路径交叉需满足以下条件：
第 i-1i−1 次移动距离小于等于第 i-3i−3 次移动距离。
第 ii 次移动距离大于等于第 i-2i−2 次移动距离。
第 22 类，如上图所示，第 55 次移动和第 11 次移动交叉（重叠）的情况，例如归纳中的 5-25−2 和 5-35−3。这类路径交叉的情况实际上是第 33 类路径交叉在边界条件下的一种特殊情况。
这种路径交叉需要满足以下条件：
第 44 次移动距离等于第 22 次移动距离。
第 55 次移动距离大于等于第 33 次移动距离减第 11 次移动距离的差；注意此时第 33 次移动距离一定大于第 11 次移动距离，否则在上一步就已经出现第 11 类路径交叉的情况了。
第 33 类，如上图所示，第 ii 次移动和第 i-5i−5 次移动（包含端点）交叉的情况，例如归纳中的 6-26−2 和 6-36−3。
这种路径交叉需满足以下条件：
第 i-1i−1 次移动距离大于等于第 i-3i−3 次移动距离减第 i-5i−5 次移动距离的差，且小于等于第 i-3i−3 次移动距离；注意此时第 i-3i−3 次移动距离一定大于第 i-5i−5 次移动距离，否则在两步之前就已经出现第 11 类路径交叉的情况了。
第 i-2i−2 次移动距离大于第 i-4i−4 次移动距离；注意此时第 i-2i−2 次移动距离一定不等于第 i-4i−4 次移动距离，否则在上一步就会出现第 33 类路径交叉（或第 22 类路径交叉）的情况了。
第 ii 次移动距离大于等于第 i-2i−2 次移动距离减第 i-4i−4 次移动距离的差。
class Solution {
public:
bool isSelfCrossing(vector<int>& distance) {
int n = distance.size();
for (int i = 3; i < n; ++i) {
// 第 1 类路径交叉的情况
if (distance[i] >= distance[i - 2] && distance[i - 1] <= distance[i - 3]) {
return true;
}
// 第 2 类路径交叉的情况
if (i == 4 && (distance[3] == distance[1]
&& distance[4] >= distance[2] - distance[0])) {
return true;
}
// 第 3 类路径交叉的情况
if (i >= 5 && (distance[i - 3] - distance[i - 5] <= distance[i - 1]
&& distance[i - 1] <= distance[i - 3]
&& distance[i] >= distance[i - 2] - distance[i - 4]
&& distance[i - 2] > distance[i - 4])) {
return true;
}
}
return false;
}
};
java
class Solution {
public boolean isSelfCrossing(int[] distance) {
int n = distance.length;
for (int i = 3; i < n; ++i) {
// 第 1 类路径交叉的情况
if (distance[i] >= distance[i - 2] && distance[i - 1] <= distance[i - 3]) {
return true;
}
// 第 2 类路径交叉的情况
if (i == 4 && (distance[3] == distance[1]
&& distance[4] >= distance[2] - distance[0])) {
return true;
}
// 第 3 类路径交叉的情况
if (i >= 5 && (distance[i - 3] - distance[i - 5] <= distance[i - 1]
&& distance[i - 1] <= distance[i - 3]
&& distance[i] >= distance[i - 2] - distance[i - 4]
&& distance[i - 2] > distance[i - 4])) {
return true;
}
}
return false;
}
}
Python
class Solution:
def isSelfCrossing(self, distance: List[int]) -> bool:
n = len(distance)
for i in range(3, n):
# 第 1 类路径交叉的情况
if (distance[i] >= distance[i - 2]
and distance[i - 1] <= distance[i - 3]):
return True
# 第 2 类路径交叉的情况
if i == 4 and (distance[3] == distance[1]
and distance[4] >= distance[2] - distance[0]):
return True
# 第 3 类路径交叉的情况
if i >= 5 and (distance[i - 3] - distance[i - 5] <= distance[i - 1] <= distance[i - 3]
and distance[i] >= distance[i - 2] - distance[i - 4]
and distance[i - 2] > distance[i - 4]):
return True
return False
以上是关于路径交叉，有点难度的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章