[海军国际项目办公室]莓良心
Posted StaroForgin
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[海军国际项目办公室]莓良心相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
莓良心
题目概述
题解
完了，我连NOIP模拟赛的第一题都做不来了。这出题人真的臭呀！！！
首先，我们考虑每一份能量会产生怎样的贡献。
无论怎样的划分，它自己都会产生一份贡献，而每当当它与另外的一个数组合起来时，又会产生一份贡献。
所以很容易得到表达式，
A
n
s
=
∑
u
∈
[
1
,
n
]
w
u
{
n
k
}
+
∑
u
,
v
∈
[
1
,
n
]
u
≠
v
(
w
u
+
w
v
)
{
n
k
−
1
}
Ans=\\sum_{u\\in[1,n]}w_{u}{n\\brace k}+\\sum_{u,v\\in[1,n]\\,u\\not = v}(w_{u}+w_{v}){n\\brace k-1}
Ans=u∈[1,n]∑wu{kn}+u,v∈[1,n]u=v∑(wu+wv){k−1n}
前面是
u
u
u单独的贡献，与组合方式无关，后面是两个一起时的贡献，我们就将
u
u
u和
v
v
v绑在一起就行了。
由于不同的
w
i
w_{i}
wi实际上在位置上是等价的，即它们的系数其实是相同的，所以有，
A
n
s
=
(
∑
i
=
1
n
w
i
)
(
{
n
k
}
+
(
n
−
1
)
{
n
k
−
1
}
)
Ans=\\left(\\sum_{i=1}^{n}w_{i}\\right)\\left({n\\brace k}+(n-1){n\\brace k-1}\\right)
Ans=(i=1∑nwi)({kn}+(n−1){k−1n})
我们只需要算两个斯特林数就行了。
斯特林数显然是可以通过组合加容斥求出的，枚举有多少个集合为空，容斥掉就行了
{
n
k
}
=
∑
i
=
0
k
−
1
(
−
1
)
i
(
k
i
)
(
k
−
i
)
n
{n\\brace k}=\\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^i\\binom{k}{i}(k-i)^{n}
{kn}=i=0∑k−1(−1)i(ik)(k−i)n
(
k
−
i
)
n
(k-i)^n
(k−i)n可以用线性筛的方式求出，只算每个质数的次方，其它都乘起来，可以省掉一个
ln
k
\\ln\\,k
lnk。
总时间复杂度 O ( n log n ln k + n + k ) ≈ O ( n ) O\\left(\\frac{n\\log\\,n}{\\ln\\,k}+n+k\\right)\\approx O\\left(n\\right) O(lnknlogn+n+k)≈O(n)。
源码
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
_T f=1;x=0;char s=getchar();
while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,k,val[MAXN],fac[MAXN],inv[MAXN],f[MAXN],sum1,sum2,sum;
int ans,prime[MAXN],cntp,pn1[MAXN],pn2[MAXN];bool oula[MAXN];
void init(){
fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mo,
f[i]=1ll*(mo-mo/i)*f[mo%i]%mo,
inv[i]=1ll*f[i]*inv[i-1]%mo;
pn1[0]=pn2[0]=pn1[1]=pn2[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!oula[i])prime[++cntp]=i,pn1[i]=qkpow(i,n,mo),pn2[i]=qkpow(i,n-1,mo);
for(int j=1;j<=n&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){
oula[i*prime[j]]=1;
pn1[i*prime[j]]=1ll*pn1[i]*pn1[prime[j]]%mo;
pn2[i*prime[j]]=1ll*pn2[i]*pn2[prime[j]]%mo;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
int C(int x,int y){
if(x<0||y<0||x<y)return 0;
return 1ll*fac[x]*inv[y]%mo*inv[x-y]%mo;
}
signed main(){
freopen("ichigo.in","r",stdin);
freopen("ichigo.out","w",stdout);
read(n);read(k);init();
for(int i=1;i<=n;i++)read(val[i]),Add(sum,val[i],mo);
for(int i=0;i<k;i++){
int tmp=(i&1)?mo-C(k,i):C(k,i);
Add(sum1,1ll*tmp*pn1[k-i]%mo,mo);
Add(sum2,1ll*tmp*pn2[k-i]%mo,mo);
}
ans=1ll*inv[k]*add(sum1,1ll*(n-1)*sum2%mo,mo)%mo;
printf("%d\\n",1ll*sum*ans%mo);
return 0;
}
谢谢！！！
以上是关于[海军国际项目办公室]莓良心的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章