光滑性准则（Smoothness Rule） 递推方程（Recursive Equation）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了光滑性准则（Smoothness Rule） 递推方程（Recursive Equation）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
光滑性准则
称一个函数是研究处不减的当且仅当它在研究处单调不增。
称一个函数是b-光滑的（
b
≥
2
b\\ge 2
b≥2）当且仅当它是研究处不减的，并且它的
b
k
bk
bk子序列受制于它本身（
k
=
1
,
2
,
⋯
k=1,2,\\cdots
k=1,2,⋯）。
称一个函数是光滑的当且仅当它对所有
b
≥
2
b\\ge 2
b≥2是b-光滑的。
一般大多数标注函数都是光滑的。增长太快的类似
f
(
n
)
=
n
log
n
f(n)=n^{\\log n}
f(n)=nlogn、
f
(
n
)
=
2
n
f(n)=2^n
f(n)=2n、
f
(
n
)
=
n
!
f(n)=n!
f(n)=n!是不光滑的。
光滑性准则 如果计算函数
t
t
t是研究处不减的，标注函数
f
(
n
)
f(n)
f(n)是光滑的，且对于
n
=
b
k
(
k
=
1
,
2
,
⋯
)
n=b^k(k=1,2,\\cdots)
n=bk(k=1,2,⋯)的
t
(
n
)
t(n)
t(n)受制于/制约/同等级于
f
(
n
)
f(n)
f(n)，则对所有
n
n
n都有
t
(
n
)
t(n)
t(n)受制于/制约/同等级于
f
(
n
)
f(n)
f(n)。
递推方程
假设有递推方程
a
n
t
n
+
a
n
−
1
t
n
−
1
+
a
n
−
2
t
n
−
2
+
⋯
=
b
1
n
p
1
(
n
)
+
b
2
n
p
2
(
n
)
+
b
3
n
p
3
(
n
)
+
⋯
a_nt_n+a_{n-1}t_{n-1}+a_{n-2}t_{n-2}+\\cdots=b_1^np_1(n)+b_2^np_2(n)+b_3^np_3(n)+\\cdots
antn+an−1tn−1+an−2tn−2+⋯=b1np1(n)+b2np2(n)+b3np3(n)+⋯
则这个方程的特征根
x
x
x满足
Q
(
x
)
∏
i
(
x
−
b
i
)
deg
(
p
i
)
+
1
=
0
Q(x)\\prod_i(x-b_i)^{\\deg(p_i)+1}=0
Q(x)i∏(x−bi)deg(pi)+1=0
如果没有重根，则
t
t
t是
x
i
n
x_i^n
xin的线性组合。
如果有重根，则
x
i
n
x_i^n
xin改为
x
i
n
,
n
x
i
n
,
n
2
x
i
n
,
⋯
x_i^n,nx_i^n,n^2x_i^n,\\cdots
xin,nxin,n2xin,⋯。
以上是关于光滑性准则（Smoothness Rule） 递推方程（Recursive Equation）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章