光滑性准则(Smoothness Rule) 递推方程(Recursive Equation)

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光滑性准则

称一个函数是研究处不减的当且仅当它在研究处单调不增。
称一个函数是b-光滑的( b ≥ 2 b\\ge 2 b2)当且仅当它是研究处不减的,并且它的 b k bk bk子序列受制于它本身( k = 1 , 2 , ⋯ k=1,2,\\cdots k=1,2,)。
称一个函数是光滑的当且仅当它对所有 b ≥ 2 b\\ge 2 b2是b-光滑的。
一般大多数标注函数都是光滑的。增长太快的类似 f ( n ) = n log ⁡ n f(n)=n^{\\log n} f(n)=nlogn f ( n ) = 2 n f(n)=2^n f(n)=2n f ( n ) = n ! f(n)=n! f(n)=n!是不光滑的。
光滑性准则 如果计算函数 t t t是研究处不减的,标注函数 f ( n ) f(n) f(n)是光滑的,且对于 n = b k ( k = 1 , 2 , ⋯   ) n=b^k(k=1,2,\\cdots) n=bk(k=1,2,) t ( n ) t(n) t(n)受制于/制约/同等级于 f ( n ) f(n) f(n),则对所有 n n n都有 t ( n ) t(n) t(n)受制于/制约/同等级于 f ( n ) f(n) f(n)

递推方程

假设有递推方程 a n t n + a n − 1 t n − 1 + a n − 2 t n − 2 + ⋯ = b 1 n p 1 ( n ) + b 2 n p 2 ( n ) + b 3 n p 3 ( n ) + ⋯ a_nt_n+a_{n-1}t_{n-1}+a_{n-2}t_{n-2}+\\cdots=b_1^np_1(n)+b_2^np_2(n)+b_3^np_3(n)+\\cdots antn+an1tn1+an2tn2+=b1np1(n)+b2np2(n)+b3np3(n)+
则这个方程的特征根 x x x满足 Q ( x ) ∏ i ( x − b i ) deg ⁡ ( p i ) + 1 = 0 Q(x)\\prod_i(x-b_i)^{\\deg(p_i)+1}=0 Q(x)i(xbi)deg(pi)+1=0
如果没有重根,则 t t t x i n x_i^n xin的线性组合。
如果有重根,则 x i n x_i^n xin改为 x i n , n x i n , n 2 x i n , ⋯ x_i^n,nx_i^n,n^2x_i^n,\\cdots xin,nxin,n2xin,

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