建信金融科技力扣专场竞赛D——矩阵快速幂优化dp+卡常

Posted 2021-12-02 hans774882968

传送门

又是被力扣虐爆的一天，绝绝子

显然按列的升序排序，然后分段地对a[i]和a[i+1]进行答案计算，乘到ans上即可。但dp要转移1e9次。于是比赛时我sb了，觉得这题dp做不了，往组合数学方面建模了，最后没有写出来。

因为dp只涉及dp[i-1]和dp[i]，并且注意到数据范围row <= 20，所以是可以矩阵快速幂优化的。初始向量：

Mat t(row,1);
t.m[a[i][1]][0] = 1;

注：这里我们为了方便排序，把行和列交换了一下，a[i][1]表示点i的行编号。

转移矩阵：

Mat M(row);
re_(i,0,row){
    if(i) M.m[i][i-1] = 1;
    M.m[i][i] = 1;
    if(i+1 < row) M.m[i][i+1] = 1;
}

路径数的贡献：

int b = a[i+1][0]-a[i][0];//dp需要计算多少列
Mat res = mul(q_pow(b,mod,row),t,mod);
//贡献为res.m[a[i+1][1]][0]

知道正解还不够，本题严重卡常，因此需要一些卡常技巧。最关键的卡常技巧：

• 需要预处理转移矩阵的2的幂的结果，减少矩阵乘法的调用次数，从而加速快速幂函数。
• 需要修改矩阵乘法的计算方式，让它每加8次再取模1次。之所以加8次，是因为LL上限大约9e18，而矩阵乘法中，每次计算结果的增量最大为1e9*1e9。取模是十分耗时的运算，需要尽量减少它。

修改后的快速幂函数：

Mat q_pow(int b,int mod,int row){
    Mat ret(row);re_(i,0,row) ret.m[i][i] = 1;
    for(int i = 0;b;b >>= 1,++i){
        if(b & 1) ret = mul(ret,tmp[i],mod);
    }
    return ret;
}

修改后的矩阵乘法：

Mat mul(Mat a,Mat b,int mod){
    Mat ret(a.r,b.c);
    re_(i,0,a.r){
        re_(k,0,a.c){
            re_(j,0,b.c){
                ret.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];
                if((k & 7) == 7) ret.m[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    re_(i,0,a.r) re_(j,0,b.c) ret.m[i][j] %= mod;
    return ret;
}

代码和一些测试数据

#define rep(i,a,b) for(int i = (a);i <= (b);++i)
#define re_(i,a,b) for(int i = (a);i < (b);++i)
#define dwn(i,a,b) for(int i = (a);i >= (b);--i)
typedef long long LL;
struct Mat{
    LL m[20][20];int r,c;
    Mat(){}
    Mat(int sz,bool fl = true):r(sz),c(sz){
        if(!fl) return;
        if(r*c < 100) re_(i,0,r) re_(j,0,c) m[i][j] = 0;
        else memset(m,0,sizeof m);
    }
    Mat(int r,int c,bool fl = true):r(r),c(c){
        if(!fl) return;
        if(r*c < 100) re_(i,0,r) re_(j,0,c) m[i][j] = 0;
        else memset(m,0,sizeof m);
    }
};
vector<Mat> tmp;
Mat mul(Mat a,Mat b,int mod){
    Mat ret(a.r,b.c);
    re_(i,0,a.r){
        re_(k,0,a.c){
            re_(j,0,b.c){
                ret.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];
                if((k & 7) == 7) ret.m[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    re_(i,0,a.r) re_(j,0,b.c) ret.m[i][j] %= mod;
    return ret;
}
Mat q_pow(int b,int mod,int row){
    Mat ret(row);re_(i,0,row) ret.m[i][i] = 1;
    for(int i = 0;b;b >>= 1,++i){
        if(b & 1) ret = mul(ret,tmp[i],mod);
    }
    return ret;
}
class Solution {
public:
    static const int mod = 1e9 + 7;
    void init_mat(int row,int col){
        Mat M(row);
        re_(i,0,row){
            if(i) M.m[i][i-1] = 1;
            M.m[i][i] = 1;
            if(i+1 < row) M.m[i][i+1] = 1;
        }
        tmp.clear();
        tmp.push_back(M);
        int num = 0;for(;col;col >>= 1,++num);
        rep(i,1,num) tmp.push_back(mul(tmp.back(),tmp.back(),mod));
    }
    int electricityExperiment(int row, int col, vector<vector<int>>& a) {
        const int n = a.size();
        re_(i,0,n) swap(a[i][0],a[i][1]);
        sort(a.begin(),a.end());
        init_mat(row,col);
        LL ans = 1;
        re_(i,0,n-1){
            Mat t(row,1);t.m[a[i][1]][0] = 1;
            int b = a[i+1][0]-a[i][0];
            if(!b) return 0;
            Mat res = mul(q_pow(b,mod,row),t,mod);
            ans = ans * res.m[a[i+1][1]][0] % mod;
        }
        return ans;
    }
};
/* 0 3 6 34170816 386122361
5
6
[[1, 3], [3, 2], [4, 1]]
3
4
[[0, 3], [2, 0]]
5
6
[[1, 3], [3, 5], [2, 0]]
4
30
[[1, 28], [2, 9], [0, 27], [3, 5], [1, 21]]
6
128
[[0, 34], [3, 45], [2, 49], [5, 94], [2, 100], [1, 121], [2, 90]]
*/