2021SCUACM FallTraining 05 数学 J——中规中矩的莫比乌斯反演

Posted 2021-12-02 hans774882968

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看到一大串式子里面出现了gcd，可以猜测是要设gcd为d，并搞出gcd(...) == 1的形式，然后莫比乌斯反演了。题目中f函数的定义实际上就是莫比乌斯函数的平方。
$$ans=\sum _{d=1}^n{\mu }^2[d]\ast d\ast (\sum _{a[1]=1}^n...\sum _{a[x]=1}^n\prod _{j=1}^x(a[j]{)}^k[d==gcd(a[1],...,a[x])])$$
a[j]都是d的倍数，因此改成枚举倍数系数，得：
$$ans=\sum _{d=1}^n{\mu }^2[d]\ast d^{x\ast k+1}\ast (\sum _{a[1]=1}^{n/d}...\sum _{a[x]=1}^{n/d}\prod _{j=1}^x(a[j]{)}^k[1==gcd(a[1],...,a[x])])$$
[1 == gcd(a[1],...,a[x])]可以写成
$$\sum _{e=1}^{n/d}\mu [e]\ast [e|gcd(a[1],...,a[x])]$$
把不受束缚的项拿到外面，再改成枚举倍数系数，然后进行简单化简得：
$$ans=\sum _{d=1}^n{\mu }^2[d]\ast d^{x\ast k+1}\ast \sum _{e=1}^{n/d}\mu [e]\ast e^{x\ast k}\sum _{a[1]=1}^{n/(d\ast e)}...\sum _{a[x]=1}^{n/(d\ast e)}\prod _{j=1}^x(a[j]{)}^k$$
a[t1]和a[t2]终于没有绑定关系了，于是右边的式子可以写为
$$(\sum _{i=1}^{n/T}{i}^k{)}^x,T=d\ast e$$
按照莫比乌斯反演的套路，此时我们应该引入T = d*e的限制来进一步处理了。
$$ans=\sum _{T=1}^n\sum _{d=1}^n{\mu }^2[d]\ast d^{x\ast k+1}\ast \sum _{e=1}^{n/d}[T=d\ast e]\ast (\mu [e]\ast e^{x\ast k}\ast (\sum _{i=1}^{n/T}{i}^k{)}^x)$$
我们把枚举了d和e的式子看成一个整体。因为外层是T，所以必须保证d是T的因子。并且因为枚举e的时候T和d都是固定的，所以只有1个e满足条件：T/d。于是e那层枚举可以消失。
$$ans=\sum _{T=1}^n(\sum _{i=1}^{n/T}{i}^k{)}^x\sum _{d|T}以上是关于2021SCUACM\; FallTraining\; 05\; 数学\; J——中规中矩的莫比乌斯反演的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$$

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