强者越强-效率与公平的幂律视角

Posted 2021-11-25 dog250

一直以来，人们认为复杂网络的内在是泊松分布，但事实上却是幂律分布。是不是所有基于泊松分布的统计复用需要重新评估呢？比如分组交换网的拥塞控制？但这是后话，本文不谈，本文主要内容是效率和公平。

以无标度网络为例，在平滑连续的时间序列$t$中，每单位时间接入一个节点，它会与既有节点创建$m$个链接，在一个总节点数为$N$的网络中，对于已经接入的节点$i$，设它的度为$K_i$，其被链接的概率为：

$p(i)=m\frac{K_i}{{\Sigma }_{j=1}^N{K}_j}$

上式即为优先依附，其连续形式为：

$p(i)=m\frac{K_i(t)}{{\int }_1^{N}K(t)dt}=m\frac{K_i(t)}{2mt-m}=\frac{K_i(t)}{2t-1}\approx \frac{K_i(t)}{2t}$

另一方面，一个节点$i$的度$K(i)$的变化率即为被链接的概率：

$\frac{d{K}_i(t)}{dt}=\frac{K_i(t)}{2t}$

两边积分，解微分方程，可得：

$K_i(t)=(C\times t{)}^{\frac{1}{2}}$

根据初始条件，当节点$i$接入时，它共获得了$m$条连接，即$K_i(t_i)=m$，代入上式：

$C=\frac{m^2}{t_i}$

$K_i(t)=m(\frac{t}{t_i}{)}^{\frac{1}{2}}$

对其求导：

$K_i^{\prime }(t)=(\frac{m}{2}{t}_i^{-\frac{1}{2}})t^{-\frac{1}{2}}$

从$K_i(t)$及其导数可以看出：

• 看$K_i(t)$分母和分子，越先加入的节点获得的链接越多，此为先发优势。
• 看$K_i^{\prime }(t)$的负指数，同一个节点受链接的速率逐渐降低，竞争越发激烈。

这就是无标度网络动力学，越早加入的节点，最终获得越多的链接，那么到底是多少，需要求一下节点的度的概率密度。

概率密度是积累分布的导数，积累分布是一个等于1的积分，对于$F_X(x)={\int }^{x}f(x)dx$，求$f(x)$即可。

对于无标度网络，对于任意度$k$，求度大于$k$的节点比例，即为节点度为$k$的积累分布。

设 $K_i(t)=m(\frac{t}{t_i}{)}^{\frac{1}{2}}\ge k$ 可得：

$t_i\le m^2{k}^{-2}t$

在时间$t$，网络中节点总数为$t+m$，则$K_i\ge k$的比例为：

P K i ≥ k = m 2 k − 2 t

以上是关于强者越强-效率与公平的幂律视角的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

云原生视角下的开放网络

云原生视角下的开放网络

以产品经理的视角，聊聊推荐系统与广告系统的关系

微博上的幂律，为何微信避开了，抖音呢

云视角下的视频编码:从虚拟化走向容器化

如何区分三视图中的:第一视角和第三视角？