最优停止找停车位问题的最简单解释

Posted 2021-11-25 dog250

设$x$为一个车位被占用的概率，那么显然$1-x$则为空闲率。停车位坐标如下：

仿照万里挑一的37%原则建模。

设$k$为司机开始考虑停车的位置，那么实际可以停车的位置$i$肯定满足在$i<k$，还有两个约束：

• 司机在$i$点停车，说明前面没有停车位，不然他可能考虑前面的车位。
• 若$i$是最优的停车位，则意味着在$i$之后再无停车位。

综上两点，可以求出成功停车的概率：

$P(k)=\sum _{i=1}^k{a}^{k-i}\times (1-a)\times a^i=\sum _{i=1}^k{a}^k\times (1-a)=(1-a)k{a}^k$

导数是：

$P^{\prime }(k)=(1-a)a^k+(1-a)k{a}^k\ln a=a^k(1-a+k\ln a)$

所以，在$k=\frac{a-1}{\ln a}$时，效果最好。来感受动态(用Geogebra作图)：

这说明，当已知车位占用率为$a$时，离目的地$k=\frac{a-1}{\ln a}$开始，找到一个车位就停进去，是最好的选择。给出一个$a$，就能算出一个$k$。

《算法之美》第一章“最优停车位置”问题大致也是这么算的，只是它考虑了更复杂的情形，停止位并没有在目的地终止，而是延伸到无穷远处，最终它得到了下表：

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。