二分 - 寻找两个有序数组的中位数 - Leetcode 4

Posted 2021-11-24 njuptACMcxk

二分 - 寻找两个有序数组的中位数 - Leetcode 4

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 A 和 B。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

示例 1：

输入：A = [1,3], B = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：A = [1,2], B = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

示例 3：

输入：A = [], B = [1]
输出：1.00000

示例 4：

输入：A = [2], B = []
输出：2.00000

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方法一：划分数组（$O({\log }_2(min(n,m)))$）

我们可以把两个数组看成是一个数组的两段，然后设法在 A 或者 B 中找出中位数所在的位置。

这个做法需要理解中位数的作用：它把一个数组划分成了等长的两段。

所以，我们首先设法把两个数组重新划分成等长的两段，假设是 left 段 和 right 段，使得 left 段的最大值不超过 right 段的最小值：

        left            |           right
A[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[n-1]
B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[m-1]

即：

• $len(left)=i+j=len(right)=n+m-i-j+[n+m是奇数]$
• $\max (left)\le \min (right)$

那么答案为：

$$n+m为偶数：Ans=\frac{\max (left)+\min (right)}{2}$$

$$n+m为奇数：Ans=\max (left)——（左边多一个元素）$$

具体实现细节如下：

• 我们首先要在数组 A 中二分出划分的位置 $i$，满足：$\max (left)\le \min (right)$，即：
  $$\max (A[i-1],B[j-1])\le \min (A[i],B[j])$$
  等价于：$$B[j-1]\le A[i]\&\&A[i-1]\le B[j]$$
  我们仔细思考发现，上述条件是满足”单调性的“。因为，我们多分给 left 一个元素，就少分给right 一个元素。即，$i$ 递增时，$j$ 相应地递减，也就是 $A[i]$ 递增，$B[j]$ 就递减。那么可以得出结论：$A[i]$ 越大越好，越容易满足约束条件。
  所以，我们可以二分出最大的，满足条件的 $A[i]$。
• 注意，根据等长的条件，得到：$j=\lfloor \frac{m+n+1}{2}\rfloor -i$，为了保证 $j\ge 0$，简化边界的判断，我们可以假设 $m\le n$，即 A 的长度 ≤ B 的长度。
• 然后我们维护出 $\max (left)$ 和 $\min (right)$。
• 最后根据奇偶性输出答案即可。

代码：

class Solution {
public:
     double findMedianSortedArrays(vector<int>& A, vector<int>& B) 
     {
        int m = A.size(), n = B.size();
        if(m > n) swap(A, B), swap(m, n);
        
        int l = 0, r = m;
        int max_left = 0, min_right = 0;
        int A_i, A_im1, B_j, B_jm1;
        int i, j;
        
        while(l < r)
        {
            i = l + r + 1 >> 1;
            j = (n + m + 1 >> 1) - i;
            
            // 事实上这里 i > 0 是必然成立的，相对的，j < n 也是必然成立的。
            if(A[i - 1] <= B[j]) l = i;
            else r = i - 1;
        }
        
        j = (n + m + 1 >> 1) - l;
        A_i = (l == m ? INT_MAX : A[l]);
        A_im1 = (l == 0 ? INT_MIN : A[l - 1]);
        B_j = (j == n ? INT_MAX : B[j]);
        B_jm1 = (j == 0 ? INT_MIN : B[j - 1]);
        
        max_left = max(A_im1, B_jm1);
        min_right = min(A_i, B_j);
        
        return (n + m & 1) ? max_left : (double)(max_left + min_right) / 2.0;
    }
};