F.Lucky Pascal Triangl(lucas+数位dp)

Posted 2021-11-24 issue是fw

Link

在杨辉三角的前$n$行中，有多少个数字是$7$的倍数?

---

求$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i[(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\%7==0]$

考虑卢卡斯定理,$Lucas(i,j,p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i\%p}{j\%p}\right)\ast Lucas(i/p,j/p,p)\%p$

然后注意到,这个过程相当于把$i,j$在$p$进制下的每一位拿出来做组合数

$Lucas(i,j,p)=\prod \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_k}{j_k}\right)\%p$

注意到由于这里的$i_k,j_k<7$,所以形成的组合数不会包含因子$7$

而最后想使$Lucas(i,j,p)=0$只能是存在某一位$k$满足$i_k<j_k$

于是就是求这样的合法对$(i,j)$满足$n>=i>j$且存在$i_k<j_k$

这个可以用数位$dp$求

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int f[24][2][2][2],a[24];
int dfs(int len,int lim1,int lim2,int ok)
{
    if( !len )  return ok;
    if( f[len][lim1][lim2][ok]!=-1 )    return f[len][lim1][lim2][ok];
    int las1 = lim1?a[len]:6; long long ans = 0;
    for(int i=0;i<=las1;i++)
    for(int j=0;j<=( lim2?i:6 );j++)
        ans = ans+dfs( len-1,lim1&(i==las1),lim2&(j==i),ok|(i<j));
    return f[len][lim1][lim2][ok] = ans%mod;
}
int solve(long long x)
{
    memset( f,-1,sizeof f );
    a[0] = 0;
    while( x )  a[++a[0]] = x%7, x/=7;
    return dfs( a[0],1,1,0 );
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio( false ); cin.tie( 0 ); cout.tie( 0 );
    int t,casenum = 0; cin >> t;
    while( t-- )
    {
        long long n; cin >> n;
        cout << "Case " << ++casenum << ": " << solve( n ) << "\\n";
    }
}