LeetCode 416. 分割等和子集 c++/java详细题解

Posted 林深时不见鹿

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了LeetCode 416. 分割等和子集 c++/java详细题解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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1、题目

给你一个 只包含正整数非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

示例 1:

输入:nums = [1,5,11,5]
输出:true
解释:数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2:

输入:nums = [1,2,3,5]
输出:false
解释:数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示:

  • 1 <= nums.length <= 200
  • 1 <= nums[i] <= 100

2、思路

(动态规划) O ( n ∗ m ) O(n * m) O(nm)

给定一个只包含正整数的非空数组 nums[0],判断是否可以从数组中选出一些数字,使得这些数字的和恰好等于整个数组的元素和的一半。

样例:

如样例所示,nums = [1,5,11,5],数组可以分割成 [1, 5, 5][11],因此返回ture

从题意来看,这个问题可以转换成0-1背包问题,如何看出来的? 我们不妨将换种表述方式:

将大小为n的数组看成n件物品,数组元素和sum的一半看成一个容量为sum / 2的背包, 每件物品只能使用一次,每件物品的体积是nums[i],求解是否可以选出一些物品,使得这些物品的总体积恰好为背包的容量,因此可以使用动态规划求解,下面我们来讲解具体做法。

首先,如果sum 是奇数,则不可能将数组分割成元素和相等的两个子集,因此直接返回false。接下来我们去定义状态表示和推导状态转移方程。

状态表示: f[i][j]表示从前i个数中选若干个数,是否使得这些数字的和恰好等于j。因此f[i][j]有两种状态,true或者false

状态计算:

假定nums[]数组下标从1开始,如何确定f[i][j]的值?

一般去考虑最后一步,那么对于当前的数字 nums[i],可以选取也可以不选取:

  • 1、不选 nums[i],那么我们就从前i - 1个数中选,看是否使得这些数字的和恰好等于j,即 f[i][j] = f[i - 1][j]
  • 2、选择nums[i] ,在背包可以装下的情况下,那么相应的背包容量就要减去nums[i] ,f[i][j]的状态就可以从f[i - 1][j - nums[i]]转移过来,即f[i][j] = f[i - 1][j - nums[i]]

综上,两种情况只要有一个为truef[i][j]就为true。因此状态转移方程为f[i][j] = f[i - 1][j] | f[i - 1][j - nums[i]]

初始化:

f[0][0] = true:在前0个数中,我们可以一个数都不去选,因此从前0个数中选,使得这些数字的和恰好等于0的状态为true,其余的状态都初始化为false

实现细节:

在推导状态转移方程时,我们假设的nums[]数组下标是从1开始的,而实际中的nums[]数组下标是从0开始的,因此在代码的编写过程中,我们需要将所有nums[i]的下标减去 1,与使用的语言保持一致。

时间复杂度分析: O ( n ∗ m ) O(n * m) O(nm)nnums数组的大小,m数组元素和的一半。

空间复杂度分析: O ( n ∗ m ) O(n * m) O(nm)

3、二维c++代码

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), sum = 0;
        for(int x : nums) sum += x;
        if(sum % 2) return false;
        int m = sum / 2;
        vector<vector<bool>> f(n + 1, vector<bool>(m + 1, false));
        f[0][0] = true;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                if(j >= nums[i - 1]) f[i][j] = f[i - 1][j - nums[i - 1]] | f[i - 1][j];
                else f[i][j] = f[i - 1][j];
            }
        }
        return f[n][m];
    }
};	

4、二维java代码

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length, sum = 0;
        for(int x : nums) sum += x;
        if(sum % 2 != 0) return false;
        int m = sum / 2;
        boolean[][] f = new boolean[n + 1][m + 1];
        f[0][0] = true;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                if(j >= nums[i - 1]) f[i][j] = f[i - 1][j - nums[i - 1]] || f[i - 1][j];
                else f[i][j] = f[i - 1][j];
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}

5、一维优化

我们可以发现,在计算 f[i][j]的过程中,每一行f[i][j]的值只与上一行的f[i - 1][j]有关,因此考虑去掉前一维,则状态转移方程为:f[j] = f[j] | f[j - nums[i]]

如果此时我们继续考虑第二层循环j从小往大计算,即:

for (int i = 1; i <= n; i++){ 	             //为了下标对应,实际nums[i]应取nums[i - 1]
    for (int j = nums[i]; j <= m; j++){
         f[j] = f[i] | f[j - nums[i]];   
    }
}    

此时的状态便与二维的状态不等价了,因为在计算第i层的状态时,我们从小到大枚举, j - nums[i]严格小于j,那么f[ j- nums[i]]一定会先于f[j]被计算出来,于是我们计算出来的f[j - nums[i]]仍为第i层状态,这样f[j - nums[i]]等价于f[i][j-nums[i]] ,实际上f[j - nums[i]]应该等价于f[i - 1][j - nums[i]]

为了解决这个问题只需要将j从大到小枚举。

for (int i = 1; i <= n; i++){ 	             //为了下标对应,实际nums[i]应取nums[i - 1]
    for (int j = m; j >= nums[i]; j -- ){
         f[j] = f[i] | f[j - nums[i]];   
    }
}    

因为我们从大到小枚举j,而 j - nums[i]严格小于j,于是我们在计算f[j] 的时候f[j - nums[i]]还未被第i层状态更新过,那么它存的就是上一层(i - 1层)的状态,即等价于f[i - 1][j - nums[i]]

空间复杂度分析: O ( n ) O(n) O(n)

6、一维c++代码

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), m = 0;
        for (int x: nums) m += x;
        if (m % 2) return false;
        m /= 2;
        vector<bool> f(m + 1);
        f[0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = m; j >= nums[i - 1]; j -- )
                f[j] = f[j] | f[j - nums[i - 1]];
        return f[m]; 
    }
};

7、一维java代码

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length, m = 0;
        for (int x: nums) m += x;
        if (m % 2 != 0) return false;
        m /= 2;
        boolean[] f = new boolean[m + 1];
        f[0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = m; j >= nums[i - 1]; j -- )
                f[j] |= f[j - nums[i - 1]];
        return f[m];
    }
}
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原题链接: 416. 分割等和子集

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