Codeforces622 C. Binary Table（状压+fwt_xor）

Posted 2021-11-24 live4m

题意：

解法：

$$\begin{gathered} 将m列抽象为m个二进制数a[], \\ 考虑2^n枚举行的翻转情况, \\ 设翻转情况为x,那么a[i]会变成a[i]⨁x. \\ 预处理f[i]表示数字i操作后(翻转或不翻转)最少有多少个1. \\ 那么当前翻转情况的答案为\sum _{i=1}^{m}f[a[i]⨁x]. \\ 复杂度O(2^n\ast m),需要优化. \\ 设cnt[i]为数字i出现的个数, \\ 那么ans[x]=\sum _{i=0}^{2^n}cnt[i]\ast f[x⨁i], \\ 发现cnt[]中的下标为i,f[]中的下标为x⨁i, \\ 两者异或恰好为左边ans[]中的x. \\ 同时i的范围是全值域,所以式子等价于: \\ ans[x]=\sum _{i⨁j=x}cnt[i]\ast f[j]. \\ 发现变成异或卷积的形式了,那么用fwt加速卷积就可以了. \\ 最后对ans[]取min就是答案. \end{gathered}$$

code：

#include<bits/stdc++.h>
// #define SYNC_OFF
#define int long long
#define ll long long
#define ull unsigned long long
//fast-coding
#define ST(x) x.begin()
#define ED(x) x.end()
#define RST(x) x.rbegin()
#define RED(x) x.end()
#define CL(x) x.clear();
#define all(a,n) a+1,a+1+n
#define ff(i,n) for(ll i=1;i<=n;i++)
#define rff(i,n) for(ll i=n;i>=1;i--)
#define fff(i,n) for(ll i=0;i<n;i++)
#define rfff(i,n) for(ll i=n-1;i>=0;i--)
#define SC(x) scanf("%s",x)
#define SL(x) strlen(x)
#define pss(a) push_back(a)
#define ps(a) push(a)
#define SZ(x) (int)x.size()
#define pee puts("");
#define eee putchar(' ');
#define re readdd()
#define pr(a) printtt(a)
int readdd(){int x=0,f=1;char c=getchar();//
while(!isdigit(c)&&c!='-')c=getchar();
if(c=='-')f=-1,c=getchar();
while(isdigit(c))x=x*10+c-'0',c=getchar();
return f*x;}
void printtt(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;//
if(x>=10)printtt(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}//
int ppow(int a,int b,int mod){a%=mod;//
int ans=1%mod;while(b){if(b&1)ans=(long long)ans*a%mod;
a=(long long)a*a%mod;b>>=1;}return ans;}
bool addd(int a,int b){return a>b;}
int lowbit(int x){return x&-x;}
const int dx[4]={0,0,1,-1};
const int dy[4]={1,-1,0,0};
bool isdigit(char c){return c>='0'&&c<='9';}
bool Isprime(int x){
    for(int i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0)return 0;
    return 1;
}
void ac(int x){if(x)puts("YES");else puts("NO");}
//short_type 
#define VE vector<int>
#define PI pair<int,int>
//
using namespace std;
// const int mod=998244353;
const int mod=1e9+7;
const int maxm=2e6+5;
const int inv2=ppow(2,mod-2,mod);
int cnt[maxm];
char s[maxm];
int f[maxm];
int a[maxm];
int n,m;
int len;
void fwt_xor(int *a, int op){
    for(int i=1;i<len;i<<=1){
        for(int j=0,p=i<<1;j<len;j+=p){
            for(int k=0;k<i;k++){
                int x=a[j+k],y=a[i+j+k];
                a[j+k]=x+y;
                a[i+j+k]=x-y;
                if(op==-1){
                    a[j+k]=1ll*a[j+k]/2;
                    a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]/2;
                }
            }
        }
    }
}
void solve(){
    n=re,m=re;
    fff(i,n){
        SC(s+1);
        ff(j,m){//将m列抽象为m个二进制数
            if(s[j]=='1'){
                a[j]+=(1<<i);
            }
        }
    }
    //cnt[i]表示数字i出现了多少次
    ff(i,m)cnt[a[i]]++;
    //f[i]表示数字i操作后(翻转或不翻转)最少有多少个1.
    fff(i,(1<<n))fCodeforces 700 C. Break Up（Tarjan求桥）

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