动态规划解决背包问题

Posted 2021-11-24 暴躁的程序猿啊

背包问题

有一个背包，容量为4，现有如下物品

吉他 体积1 价格 1500

音响 体积4 价格 3000

电脑 体积3 价格2000

1.要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且容量不超出

2.要求装入的物品不能重复

例如 ：装 音响 价格3000 或者装 吉他和电脑 价值3500

这道题我们可以用动态规划算法来解决

动态规划算法介绍：

1.动态规划 算法的核心思想是：将大问题划分成小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2.动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将带求解问题分解成若干个子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3.与分治算法不同的是，适合用于动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的基础上，进行进一步的求解）；

4.动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解；

动态规划算法解决背包问题

背包问题是指一个给定容量的背包，若干个具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品价值最大，其中又分为01背包和完全背包（完全背包指的是每种物品有无限件可用）；

这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包；

算法的主要思想：

每次遍历到第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，c为背包容量。再令v【i】[j]表示在第i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。

则有以下结果：

1.v[i][0]=v[0][j] 表示填入表的第一行和第一列都是0

2.当w[i] >j时 v[i][j]=v[i-1][j] //如果 新装入的商品大于当前背包容量 就使用上一个单元格的装入策略

3.当j>=w[i]时， v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]}

v[i][j]就是 上一个单元格装入的最大值
v[i]：表示当前商品价值
v[i-1][j-w[i]]装入i-1个商品 到剩余空间 j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时v[i][j]=max{v{i-1}[j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]}

/**
 * 背包问题
 *
 * @create: 2021/10/28
 * @author: Tony Stark
 */
public class KnapsackProblem {

    public static void main(String[] args) {
        //物品的重量
        int[] w = {1, 4, 3};
        //物品的价值
        int[] val = {1500, 3000, 2000};
        //背包的容量
        int m = 4;
        //物品的个数
        int n = val.length;
        //为了记录放入商品的情况，定义一个二维数组
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        //创建二维数组  +1是因为多一行一列存放0
        // v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];

        //初始化第一行和第一列为0  这里也可以不用写 因为默认值就为0
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0;
            //将第一行设置为0
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0;
            //将第一列设置为0
        }

        //根据前面的得到的公式来动态规划处理
        //i=1  不处理第一行
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
                //j=1  不处理第一列
                //公式
                if (w[i - 1] > j) {
                    //如果当前物品重量大于背包容量   把上一个值赋给它
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                } else {
                    //反之  如果当前 背包容量大于物品重量
                    //因为我们的i是从1开始的，因此公式需要调整  -1 不然会跳过第一个元素
//                    v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if else来处理
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }

        //打印一下当前情况
        for (int j = 0; j < v.length; j++) {
            for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
                System.out.print(v[j][i] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        
        //输出我们最后是放入的哪些商品
        //行的最大下标
        int i = path.length - 1;
        //列的最大下标
        int j = path[0].length - 1;
        while (i > 0 && j > 0) {
            //从path的最后开始找
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("放入第%d个物品\\n",i);
                j -= w[i - 1];
            }
            j--;
        }
    }
}