第五章数学知识

Posted 2021-11-24 辉小歌

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了第五章数学知识相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

筛质数

1292. 哥德巴赫猜想【线性筛】

https://www.acwing.com/problem/content/1294/
就先筛出所有的质数，然后枚举找即可。第一次找到的就是答案，因为俩数都是往中间靠的，故越先发现，差越大。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int prime[N],st[N],cnt,n;
void init()
{
    int len=1e6;
    for(int i=2;i<=len;i++)
    {
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]<=len/i;j++)
        {
            st[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(void)
{
    init();
    while(cin>>n,n)
    {
        bool flag=0;
        for(int i=0;i<cnt;i++)
        {
            if(!st[n-prime[i]])
            {
                printf("%d = %d + %d\\n",n,prime[i],n-prime[i]);
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(!flag) puts("Goldbach's conjecture is wrong.");
    }
    return 0;
}

1293. 夏洛克和他的女朋友【二分图】

https://www.acwing.com/problem/content/description/1295/
详细题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],n;
bool check(int x)
{
    for(int i=2;i<=x/i;i++) if(x%i==0) return true;
    return false;
}
int main(void)
{
    cin>>n;
    bool flag=0;
    for(int i=2;i<=n+1;i++) if(check(i)) a[i]=1,flag=1;
    if(flag) cout<<2<<endl;
    else cout<<1<<endl;
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        if(a[i]) cout<<2<<" ";
        else cout<<1<<" ";
    }
    return 0;
}

196. 质数距离【大区间内筛质数】

https://www.acwing.com/problem/content/description/198/
详细题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
typedef long long int LL;
int prime[N],cnt,st[N],l,r;
void init()
{
    cnt=0;
    memset(st,0,sizeof st);
    int n=1e6;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++)
        {
            st[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(void)
{
    while(cin>>l>>r)
    {
        init();
        memset(st,0,sizeof st);
        for(int i=0;i<cnt;i++)
        {
            LL p=prime[i];
            for(LL j=max(2*p,(l+p-1)/p*p);j<=r;j+=p) st[j-l]=1;
        }
        cnt=0;
        for(int i=0;i<=r-l;i++) if(!st[i]&&i+l>=2) prime[cnt++]=i+l;
        if(cnt<2) puts("There are no adjacent primes.");
        else
        {
            int minv=1,maxv=1;
            for(int i=1;i<cnt;i++)
            {
                int temp1=prime[i]-prime[i-1];
                int min_temp=prime[minv]-prime[minv-1];
                int max_temp=prime[maxv]-prime[maxv-1];
                if(temp1<min_temp) minv=i;
                if(temp1>max_temp) maxv=i;
            }
            printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\\n",prime[minv-1],prime[minv],prime[maxv-1],prime[maxv]);
        }
    }
    return 0;
}

分解质因数

197. 阶乘分解

https://www.acwing.com/problem/content/199/
详细题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int prime[N],st[N],cnt;
void init(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++)
        {
            st[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(void)
{
    int n; cin>>n;
    init(n);
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        int temp=0;
        for(int j=n/prime[i];j;j/=prime[i]) temp+=j;
        cout<<prime[i]<<" "<<temp<<endl;
    }
    return 0;
}

快速幂

1289. 序列的第k个数【简单快速幂】

https://www.acwing.com/problem/content/1291/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int mod=200907;
LL quick_mi(LL a,LL b,LL p)
{
    LL sum=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) sum=sum*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return sum%p;
}
LL t,a,b,c,k;
int main(void)
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>a>>b>>c>>k;
        if(a+c==2*b) cout<<(a+(b-a)*(k-1))%mod<<endl;
        else cout<<a*quick_mi(b/a,k-1,mod)%mod<<endl;
    }
    return 0;
}

1290. 越狱【组合数 / 快速幂】

https://www.acwing.com/problem/content/description/1292/
详细题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int mod=100003;
LL n,m;
LL quick_mi(LL a,LL b)
{
    LL sum=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) sum=sum*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return sum%mod;
}
int main(void)
{
    cin>>m>>n;
    cout<<(quick_mi(m,n)-m*quick_mi(m-1,n-1)%mod+mod)%mod;
    return 0;
}