红书《题目与解读》第一章数学题解《ACM国际大学生程序设计竞赛题目与解读》

Posted 2021-11-23 繁凡さん

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了红书《题目与解读》第一章数学题解《ACM国际大学生程序设计竞赛题目与解读》相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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红书《题目与解读》第一章数学题解《ACM国际大学生程序设计竞赛题目与解读》

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第一章数学

1.1 概率

Problem A.Coupons （几何概型，概率）

UVA 10288

Problem

一共有 $n$ 种不同的优惠券，每次得到一个优惠券的概率相同，问期望多少次得到所有 $n$ 种优惠券，以带分数的形式输出。

Solution

方法一：

设 $f [i]$ 表示已经买到 $i$ 个优惠券的期望购买次数。

考虑最后一次购买，若买到的是一个新优惠券，则：

$(f[i-1]+1)\\times \\cfrac{n-(i-1)}{n}$

若买到的是一个已经买过但不是第 $i$ 个买的优惠券，则：

$f[i]+=(f[i]+1)\\times \\frac{i-1}{n}$

整理得：

$f[i]=f[i-1]+\\frac{n}{n-i+1}$

即：

$\\sum_{i = 1}^{n}\\cfrac{n}{n-i+1}=\\sum_{i=1}^{n}\\cfrac{n}{i}$

显然最后的答案就是调和级数前缀和。

若数据较大的话可以 $O (1)$ 计算调和级数前缀和：

调和级数 $\\displaystyle\\sum_{i = 1}^{∞}\\cfrac{1}{n}$ 的极限为 $\\ln n+C$ ，其中 $C = 0.57721566490153286060651209$ 是欧拉常数

方法二：

红书上的题解

当前已有 $k$ 种，显然得到新优惠券的概率为 $\\cfrac {n-k} n$ ，显然是几何概型，所以期望是 $\\cfrac {n}{n-k}$ ，所以答案就是 $\\displaystyle \\cfrac n n+ \\cfrac {n}{n-1}+\\cdots+\\cfrac{n}{1}=n\\times \\sum\\limits_{i=1}^{n}\\cfrac 1 i$

Hint

数据较大，注意约分，除掉 $\\gcd$

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
//#define ll __int128;
typedef long long ll;
const int N = 107;

int n, m;
int up[N], down[N]; 

ll lcm(int a, int b)
{
	return a / __gcd(a, b) * b;
}

int get_len(int x)
{ 
	int len = 0;
	while(x) {
		x /= 10;
		len ++ ;
	}
	return len;
}

void solve()
{
	ll LCM = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
		up[i] = n;
		down[i] = i;
		LCM = lcm(LCM, i);
	}	
	ll sum = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
		sum += n * (LCM / i);
	}
	ll d = __gcd(sum, LCM);
	sum /= d;
	LCM /= d;
	if(LCM == 1) {
		cout << sum << endl;
		return ;
	}
	ll mo = sum % LCM;
	ll l = sum / LCM;
	for(int i = 1; i <= get_len(l) + 1; ++ i) cout << " ";
	cout << mo << endl;
	cout << l << " ";
	for(int i = 1; i <= get_len(LCM); ++ i) cout << "-";
	puts("");
	for(int i = 1; i <= get_len(l) + 1; ++ i) cout << " ";
	cout << LCM << endl;
}

signed main()
{
	while(scanf("%lld", &n) != EOF) { 
		solve();
	}
	return 0;
}

Problem B.Generator （KMP，期望，高斯消元）

ZOJ 2619

Problem

给定一个字符串 $S$ 和字符集大小 $n$ 。要求另生成一个字符串，它一开始为空，每次平均且独立地随机生成一个字符集中的字符添加到其末尾，生成出字串 $S$ 时停下，求所生成字符串的长度的期望。

Solution

显然生成的字符串越来越长，每次由 $n$ 种字符选择，那么就有 $i^n$ 种方案数，杂乱无章的无从下手。所以从对答案的贡献角度出发，发现对于答案而言，有用的只有最后生成的字符串 $T$ 的后缀与模式串 $S$ 的匹配长度。因此很多杂乱的字符串实际上对于答案而言是同一种状态，即一共只有 $0\\sim L$ 种状态，表示两字符串匹配的长度。