2021-2022-1 ACM集训队每周程序设计竞赛 - 问题 D: 数学？- 题解

Posted 2021-11-22 Tisfy

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题目描述

Tisfy: 这是一道数学题？

给你长度为$n$的数组$a$和一个正整数$k$，问你$a$有多少个 和大于等于$k$ 的连续子序列。

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输入描述

第一行空格隔开的两个正整数，分别代表数组长度和要大于的数。

第二行$n$个空格隔开的正整数，代表数组$a$。

输入格式如下：

n k
a1 a2 ... an

其中：

• $1\le a_i\le 10^5$
• $1\le n\le 10^5$
• $1\le k\le 10^{10}$

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输出描述

输出一行一个正整数代表数组$a$的 和大于等于$k$的连续子序列 的个数。

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样例一

输入

4 10
6 1 2 7

输出

2

样例二

输入

3 5
3 3 3

输出

3

提示

样例一中，
$a[1..4]$的和为$6+1+2+7=16\ge 10$
$a[2..4]$的和为$1+2+7=10\ge 10$

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题目分析

这道题暴力肯定过不了。

试想，如果连续子序列$[l,r]$的和已经$\ge k$，那么从$l$到$r+1$、从$l$到$r+2$、$\cdots$、从$l$到$n$的和都$\ge k$。这样的子序列共有$n-r+1$个。

因此，我们可以第一层循环枚举$l$从$1$到$n$，对于一个给定的$l$，找出最小的$r$使得$\sum [l,r]\ge k$，那么从$l$开始的符合条件的连续子序列的个数就是$n-r+1$。

但是给定一个左边界$l$，如何快速确定最小的$r$呢？我们可以使用类似滑动窗口的方法。

我们得到上一个$l$的最小$r$后，记录下这个最小的$r$以及$l$到$r$的和。第一层循环$l$加一变成$l+1$时，我们让上次的和减去$a[l]$，得到的就是从$l+1$到$r$的和。

• 如果这个和仍大于等于$k$，那么$r$仍然是$l+1$时最小的$r$。
• 否则$r$往右移动变成$r+1$，和也相应地加上$a[r]$，直到和重新大于等于$k$，此时的$r$即为新的最小的$r$。

上述过程中，一旦$r$超过数组范围就结束。

总的$r$从$1$移动到了$n$，时间复杂度是$O(n)$。

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AC代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll a[100010];
int main() {
    int n;
    ll k;
    cin >> n >> k; // 数组长度为n，要大于等于的数是k
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lld", &a[i]); // 输入第i个数
    }
    ll ans = 0; // 答案
    ll left = 0, right = 0; // l和r初始值都是0
    ll sum = a[0]; // sum代表[left, right]的和
    while (right < n) { // 右边r还未移出数组时
        if (sum >= k) { // sum[l, r] >= k
            ans += n - right; // 此时就是在对应l下，最小的满足题意的r。sum[l, r] >= k, sum[l, r + 1] >= k ... sum[l, n - 1] >= k（输入的时候数组存储下标是0~n-1，比题解中1~n小1）
            sum -= a[left++]; // 枚举下一个l（l++），相应地sum也要减去不在范围内的a[l]
        } else { // sum[l, r] < k，还没找到最小的r
            sum += a[++right]; // r右移并累加入总和
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/120897708