《详解二分查找》视频解说

Posted 2021-11-21 英雄哪里出来

《夜深人静写算法》(第一季02) 二分查找 (下)

  该视频首发公众号和B站，目前试看版本为B站版本。主要讲解二分查找的通用模板。文章末尾有相应的源码。

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前言

  二分查找，又叫二分枚举是在一个单调有序的数组中查找某个元素的搜索算法。原理比较简单，基本说一遍就知道是怎么一回事。然而，实际过程中，很容易写错，比如：
  1）左区间是加一还是不加？
  2）右区间是减一还是不减？
  3）迭代的终止条件怎么写？
  4）为什么有时候会死循环？
  带着以上几个疑问，这篇文章将对二分查找的所有写法进行一个归纳总结。

文章目录

• 前言
• 一、线性枚举
• • 1、线性枚举定义
  • 2、举例说明
  • 3、算法分析
  • • 1）前提
    • 2）条件
    • 3）返回结果
  • 4、画解枚举
  • • 1）划分
    • 2）游标
    • 3）遍历
    • 4）详解
  • 5、举一反三
  • • 1）大于 $x$ 的最小数的下标
    • 2）大于等于 $x$ 的最小数的下标
    • 3）小于 $x$ 的最大数的下标
    • 4）小于等于 $x$ 的最大数的下标
  • 6、时间复杂度
• 二、二分枚举
• • 1、二分枚举定义
  • 2、举例说明
  • 3、算法分析
  • • 1）目标
    • 2）游标
    • 3）二分
    • 4）时间复杂度
  • 4、源码详解
  • • 1）条件判定
    • 2）二分枚举模板
  • 5、细节解析
  • • 1）迭代的过程
    • 2）结束条件
    • 3）游标初始值
    • 4）中点位置
    • 5）死循环
• 三、二分枚举的应用
• • 1、数组精确查找
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码示例
  • 2、线性枚举 + 数组精确查找
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码示例
  • 3、数组的模糊查找
  • • 1）大于等于 $x$ 的最小值
    • 2）大于 $x$ 的最小值
    • 3）小于等于 $x$ 的最大值
    • 4）小于 $x$ 的最大值
  • 4、单调函数的查找
  • • 1）题目描述
    • 2）算法分析
    • 3）源码示例
• 四、二分枚举的通解
• 粉丝专属福利

一、线性枚举

1、线性枚举定义

  线性枚举指的就是遍历某个一维数组（顺序表）的所有元素，找到满足条件的那个元素并且返回，返回值可以是下标，也可以是元素本身。
  由于是遍历的，穷举了所有情况，所以一定是可以找到解的，一些资料上也称之为 暴力算法 （Brute Force）。接下来，我们通过一个例子来理解 线性枚举。

2、举例说明

  【例题1】给定一个单调不降的有序数组 $arr$ 和 一个值 $x$，要求找到大于 $x$ 的最小数的下标。

3、算法分析

 我们从这个问题中提取几个关键字并分类如下：
  1）前提：单调不降、有序；
  2）条件：大于 $x$、最小数；
  3）返回结果：下标；

1）前提

  前提就是问题给定时的初始数组需要满足的先天性条件，保证数据是能够符合这个前提的。这里的前提是 数组一定是有序的，且是单调不降的，即 数组下标大的数 不会比 数组下标小的数 更小。

2）条件

  这个问题中的条件有两个：
  1）大于 $x$ ；
  2）值最小；
  我们如果仔细分析一下这个问题，就可以发现，正因为这里的数组是单调不降的，所以，一旦满足 某个数大于 $x$，之后的所有数必然都满足 大于 $x$ 这个条件。所以我们必然可以把数组分成两部分，一部分是 大于 $x$ 的，另一部分是 不大于 $x$ 的。

3）返回结果

  这里的返回结果要求是下标，而我们遍历操作也是通过遍历数组的下标进行的，所以找到满足条件的，返回下标即可。

4、画解枚举

  接下来，我们通过一组实际的数据来解释这个问题。
$$arr=[1,3,4,6,6,6,7,8,9]$$

1）划分

  对于这个数组，当 $x=6$ 时，我们将数组分成两部分，大于 6 的部分用 绿色表示，不大于 6 的部分用红色表示。
  这么表示的目的，主要是为了方便记忆，联想一下 红绿灯，绿色代表可以通行，即 “大于6” 这个条件满足；红色代表禁止通行，即条件不满足。

2）游标

  设定一个游标，初始时指向数组的第 0 个元素（C语言中数组下标从 0 开始计数）。
  游标，顾名思义，就是游动的下标。你也可以叫指针，我之所以没有称之为指针，是不想它和C语言中的指针概念混淆。

3）遍历

  遍历就是判断当前游标指向的元素是否是绿色的，如果是绿色的直接返回，因为它一定是大于 $x$ 且值最小的；如果不是，则增加游标的值，继续下一次判断，直到数组遍历完毕。如下图所示：

  数字 7 就是我们要找到 大于 6 的最小数，它的下标为 6。

4）详解

int isGreen(int val, int x) {               // (1)
    return val > x;
}
int findFirstBiggerThan(int *arr, int arrSize, int x) {
    int i;
    for(i = 0; i < arrSize; ++i) {          // (2)
        if( isGreen(arr[i], x) ) {          // (3)
            return i;
        }
    }
    return arrSize;                         // (4)
}

• $(1)$ int isGreen(int val, int x)这个函数代表条件是否满足，满足返回 1，否则返回 0；这里的条件便是 $val>x$。
• $(2)$ 下标从小到大，从 0 开始遍历数组 $arr$；
• $(3)$ 一旦遇到大于 $x$ 的数，则返回它的下标，因为是下标从小往大遍历的，所以第一个找到满足条件的数一定是值最小的；
• $(4)$ 如果找不到，说明所有的数都是小于等于 $x$ 的，直接返回数组长度；

5、举一反三

  接下来，我们来看看线性枚举的其它几种问法。

  【例题2】给定一个单调不降的有序数组如下：$[1,3,4,6,6,6,7,8,9]$。要求找到以下元素：
    $(1)$ $>6$ 的 最小数 的下标位置；
    $(2)$ $\ge 6$ 的 最小数 的下标位置；
    $(3)$ $<6$ 的 最大数 的下标位置；
    $(4)$ $\le 6$ 的 最大数 的下标位置；

   对于这四个问题，我们可以发现它们的答案如下所示：

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	3	4	6	6	6	7	8	9
		$(3)$	$(2)$		$(4)$	$(1)$

1）大于 $x$ 的最小数的下标

  将数组按照条件进行划分，然后利用上文提到的findFirstBiggerThan函数求解即可。

2）大于等于 $x$ 的最小数的下标

  我们把问题做个变形，将问题变成找 大于等于 $x$ 的最小数的下标（比之前的问题多了一个等于）。按照条件划分的结果应该是包含 6 本身的，所以如下图所示：

  遍历数组的部分不变，只不过条件变成了 大于等于。C语言实现如下：

int isGreen(int val, int x) {
    return val >= x;              // (1)
}
int findFirstBiggerEqualThan(int *arr, int arrSize, int x) {
    int i;
    for(i = 0; i < arrSize; ++i) {
        if( isGreen(arr[i], x) ) {
            return i;
        }
    }
    return arrSize;
}

• $(1)$ 将原先的>号改成>=即可；

3）小于 $x$ 的最大数的下标

  上面两个问题能理解的话，我们再来看一个问题，如何找到 小于 $x$ 的最大数的下标 ，要求下标最大，那么我们在枚举的过程中，如果发现一个大于等于 $x$ 的数，那么后续都不用枚举了，并且需要返回这个数的前一个位置。条件划分如下图所示：

  我们要做的是返回红色中的最大下标，C语言实现如下：

int isGreen(int val, int x) {
    return val >= x;                  // (1)
} 

int findLastSmallThan(int *arr, int arrSize, int x) {
    int i;
    for(i = 0; i < arrSize; ++i) {
        if( isGreen(arr[i], x) ) {
            return i - 1;              
        }
    }
    return arrSize - 1;
}

• $(1)$ 大于等于 $x$ 时，isGreen成立；
• $(2)$ 由于我们要做的是返回红色中的最大下标，所以一旦遇到大于等于 $x$ 的数（即绿色的情况），则返回它的前一个下标；
• $(3)$ 如果找不到，则返回 arrSize - 1，即所有数都是红色的，则最大下标就是数组的最后一个元素的下标；

4）小于等于 $x$ 的最大数的下标

  我们把问题继续做变形，将问题变成找 小于等于 $x$ 的最大数的下标（比之前的问题多了一个等于）。划分如下图所示：

  遍历数组的部分不变，只不过条件变成了 大于，我们要做的是返回红色中的最大下标，C语言实现如下：

int isGreen(int val, int x) {
    return val > x;             // (1)
} 

int findLastSmallEqualThan(int *arr, int arrSize, int x) {
    int i;
    for(i = 0; i < arrSize; ++i) {
        if( isGreen(arr[i], x) ) {
            return i - 1;              
        }
    }
    return arrSize - 1;
}

• $(1)$ 将原先的>=号改成>即可；

6、时间复杂度

  以上的内容就是线性枚举的几种常见情况，也就是无脑遍历所有情况，并且在满足条件的第一时间退出循环，当数组长度为 $n$ 时，算法的时间复杂度为 $O(n)$，比较低效，有没有更加高效的算法呢？
  接下来出场的，就是本文的主角 —— 二分枚举。

二、二分枚举

1、二分枚举定义

  二分枚举，也叫二分查找，指的就是给定一个区间，每次选择区间的中点，并且判断区间中点是否满足某个条件，从而选择左区间继续求解还是右区间继续求解，直到区间长度不能再切分为止。
  由于每次都是把区间折半，又叫折半查找，时间复杂度为 $O(lo{g}_{2}n)$，和线性枚举的求解结果一直，但是高效许多，返回值可以是下标，也可以是元素本身。

2、举例说明

  【例题3】只有两种颜色的数组 $arr$ ，左边部分为红色用 0 表示，右边部分为绿色用 1 表示，要求找到下标最小的绿色元素的下标。

如图所示，下标最小的绿色元素的下标为 3，所以应该返回 3。

3、算法分析

1）目标

  对于这个问题，当我们拿到这个数组的时候，第一个绿色位置在哪里，我们是不知道的，所以，现在的目标就是要通过二分枚举找到红色区域和绿色区域的边界。

2）游标

  利用线性枚举的思路，我们引入游标的概念，只不过需要两个游标，左边一个红色游标，右边一个绿色游标。并且游标初始位置都在数组以外，对于一个 $n$ 个元素的数组，红色游标初始位置在 $-1$，绿色游标初始位置在 $n$。

3）二分

  我们将两个游标相加，并且除 2，从而得到游标的中点，并且判断中点所在位置的颜色，发现是绿色的，这说明从 中点游标 到 绿色游标 的元素都是绿色的。如下图所示：

  于是，我们可以把 绿色游标 替换成 中点游标，如下图所示：

  这样就完成了一次二分，区间相比之前，缩小了一半。注意，我们要求的解，一定永远在 红色游标 和 绿色游标 之间。
  然后，我们继续将两个游标相加，并且除 2，从而得到游标的中点，并且判断中点所在位置的颜色，发现是红色的，这说明从 红色游标 到 中点游标 的元素都是红色的。如下图所示：

  于是，我们可以把 红色游标 替换成 中点游标，如下图所示：

  同样上述算法，再经过两次二分以后，我们得到了如下结果：

  这个时候，这个时候 红色游标 和 绿色游标 的位置一定相差 1，并且 绿色游标 的位置就是我们这个问题要求的解。

4）时间复杂度

  由于每次操作都是将区间减小一半，所以时间复杂度为 $O(lo{g}_{2}n)$。

4、源码详解

  那么接下来，我们来看下，如何用 C语言来 实现这个问题。

1）条件判定

  判断一个元素是绿色还是红色，我们可以单独用一个函数来实现，根据题意，当值为 1 时代表绿色，值为 0 时代表红色，C语言实现如下：

int isGreen(int val) {
    return val == 1;
}

2）二分枚举模板

  接下来的二分枚举模板可以解决大部分二分枚举的问题，请妥善保管。

int binarySearch(int *arr, int arrSize, int x) {
    int l = -1, r = arrSize;         // (1)
    int mid;
    while(r - l > 1) {               // (2)
        mid = l + (r - l) / 2;       // (3)
        if( isGreen(arr[mid], x) )   // (4)
            r = mid;                 // (5)
        else
            l = mid;                 // (6)
    }
    以上是关于《详解二分查找》视频解说的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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