SOS_dp算法
Posted Jozky86
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了SOS_dp算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
简介：
前置知识：状压dp
Sum over Subsets dynamic programming，简称Sos dp,状压dp的一种
用一个列题引出SOS dp：
给你一个由
2
N
2^N
2N个整数组成的确定数组A，我们需要计算对于任意的x，
F
(
x
)
=
所
有
A
[
i
]
的
和
s
u
m
F(x)=所有A[i]的和sum
F(x)=所有A[i]的和sum且x&i=i,i是x的子集
整理成公式就是：
F
[
m
a
s
k
]
=
∑
i
∈
m
a
s
k
A
[
i
]
F[mask]=\\sum_{i∈mask}A[i]
F[mask]=i∈mask∑A[i]
i∈mask就是&mask=i
F[mask]里面包含了mask所有二进制子集的信息
复杂度为
O
(
n
∗
l
o
g
(
n
)
)
O(n*log(n))
O(n∗log(n))
d
p
[
m
a
s
k
]
[
i
]
dp[mask][i]
dp[mask][i] 表示
x
&
m
a
s
k
=
x
,
x
∧
m
a
s
k
<
2
i
+
1
x\\&mask=x,x^{\\land}mask<2^{i+1}
x&mask=x,x∧mask<2i+1的A[x]的和
也就是dp[mask][i]是和mask只有前i个位(最靠右的i位)不同的A[x]的和
转移方程有：
如图：
可以理解为：每次我求解一个状态时，只从他的所有子集里和他只差一位的状态转移过来
代码：
//iterative version
for (int mask= 0; mask < (1 << N); ++mask) {
dp[mask][-1]= A[mask]; //handle base case separately (leaf states)
for (int i= 0; i < N; ++i) {
if (mask & (1 << i))
dp[mask][i]= dp[mask][i - 1] + dp[mask ^ (1 << i)][i - 1];
else
dp[mask][i]= dp[mask][i - 1];
}
F[mask]= dp[mask][N - 1];
}
//memory optimized, super easy to code.
for (int i= 0; i < (1 << N); ++i)
F[i]= A[i];
for (int i= 0; i < N; ++i){
for (int mask= 0; mask < (1 << N); ++mask) {
if (mask & (1 << i))
F[mask]+= F[mask ^ (1 << i)];
}
}
扩展应用：
CF1208F
CF165E
CF383E
Covering Sets CodeChef - COVERING
CF449D
CF800D
以上是关于SOS_dp算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
有人可以解释啥是 SVN 平分算法吗？理论上和通过代码片段[重复]