斐波那契数列的五种实现方式
Posted RONG LU.
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了斐波那契数列的五种实现方式相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:
F(0) = 0,F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1
给你 n ,请计算 F(n) 。
暴力递推
class Solution {
public int fib(int n) {
if(n==0)return 0;
else if(n==1)return 1;
else return fib(n-1)+fib(n-2);
}
}
此方法最直观,但存在许多重复计算,时间复杂度为O(2^n)。
记忆化搜索
暴力递归存在很多重复计算,我们定义一个数组用来保存已经计算出的值,如果需要算某一项斐波那契数列的值,直接从数组里取,数组不存在的话在进行计算。
class Solution {
int[]memory;
public int fib(int n) {
if(n<2)return n;
memory=new int[n+1];
Arrays.fill(memory,-1);//用-1填充记忆数组表示未记录
memory[0]=0;
memory[1]=1;
return dfs(n);
}
public int dfs(int n){
if(memory[n]!=-1)return memory[n];
int a=dfs(n-2);
int b=dfs(n-1);
memory[n]=a+b;//存储
return memory[n];
}
}
动态规划
再记忆化搜索上继续优化,得到动态规划的结果
class Solution {
public int fib(int n) {
if(n<2)return n;
int[]dp=new int[n+1];
dp[0]=0;
dp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}
时间复杂度O(n)
空间复杂度O(n)
滚动数组优化动态规划
在动态规划中,如果状态转移方程完全由上一层的状态转移而来,这样我们只需要保存上一层的状态即可递推出本层的状态,便可以用滚动数组的方式来对空间复杂度进行优化。
class Solution {
public int fib(int n) {
if(n<2)return n;
int first=0;
int second=1;
int result=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
result=first+second;
first=second;
second=result;
}
return result;
}
}
时间复杂度O(n)
空间复杂度O(1)
矩阵快速幂
class Solution {
public int fib(int n) {
if(n<2)return n;
int[][]res=new int[][]{{1},{0}};
int[][]mat=new int[][]{{1,1},{1,0}};
n--;
//快速幂算法
while(n>0){
if(n%2==1)res=mul(res,mat);
mat=mul(mat,mat);
n>>=1;
}
return res[0][0];
}
//定义矩阵相乘方法
public int[][] mul(int[][]a,int[][]b){
int r=a.length;
int c=b[0].length;
int n=a[0].length;
int[][]res=new int[r][c];
for(int i=0;i<r;i++){
for(int j=0;j<c;j++){
for(int k=0;k<n;k++){
res[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
}
}
}
return res;
}
}
时间复杂度O(logn)
空间复杂度O(1)
以上是关于斐波那契数列的五种实现方式的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章