UVA12716 GCD等于XOR GCD XOR 数论

Posted 2021-11-09 goto_1600

link
题意：
给定n求
${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^n[i\oplus j==\gcd (i,j)]n<=3e7$
思路：
有个结论，就是$i\oplus j>=i-j>=gcd(i,j)$ ，前面很明显，因为$i\oplus j>=i-jandi\oplus j<=i+j$ 这是二进制异或的性质，后面因为
$$\begin{gathered} i和j都能写成gcd(i,j)\ast k的形式，那么一定大宇等于gcd. \\ 所以i\oplus j==\gcd (i,j)就能变成i\oplus j==i-j \\ 同时i=j+\gcd (i,j)这样我们可以枚举i和i的因子做为gcd(i,j) \\ 然后判断一下就可以了 \\ 复杂度O(nlogn)n需要预处理 \\ 然后有个问题我疑惑的是枚举i的因子的时候如果满足的话， \\ 这个因子k一定是\gcd (i,j)嘛？ \\ 好像是的，因为假设k是i的因子，同时i-j==i\oplus j==k \\ 由于i\%k==0所以j\%k==0所以k<=gcd(i,j)， \\ 由于i-j>=\gcd (i,j)所以k只能是\gcd (i,j) \end{gathered}$$
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e7+10;
ll ans[N];
void prework(){
	for(int i=1;i<N;i++){
		for(int j=2*i;j<N;j+=i){
				int k=j-i;
				if(i==(k^j))	ans[j]++;
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++)
		ans[i]+=ans[i-1];
}
int main(){
	prework();
	int t;
	scanf("%d",&t);
	int cas=0;
	while(t--){
		++cas;
		int x;
		scanf("%d",&x);
		printf("Case %d: %lld\\n",cas,ans[x]);
	}
}