CF1550E Stringforces

Posted 2021-11-09 Jozky86

CF1550E Stringforces

题意：

设 s 是一个由前 k 个小写字母构成的字符串，v 是前 k 个小写字母中的某一个。定义$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}(s,v)$ 表示 s 所有仅由字母 v 构成的连续子串的最长长度。
定义 s 的价值为所有 $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}(s,v)$ 的最小值，其中 v 取遍前 k 个小写字母。
现在给定一个长度为 n 的字符串 s，s 中字母要么是前 k 个小写字母中的某一个，要么是问号。你需要将 s 中的每一个问号替换成前 k 个小写字母中的一个，并最大化 s 的价值。方便起见，你只需要输出这个最大的价值即可。
保证 $1\le n\le 2\times 10^5，1\le k\le 17$。

题解：

又是一个状压dp与线性dp的结合
k<=17，求最大化的MaxLen(s,v)的最小值
不难想到是状压dp+二分，然后就卡住了
二分答案，然后判断mid是否成立，mid成立的条件是：要满足所有的$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{n}(s,v)$大于等于mid。那我们就在原串中找是否存在一个长度为mid的全部由第i个字符构成的连续子串(i∈k),且这k个区间互不相交
然后就可以再check中利用状压dp判断mid，设dp[i]表示已经解决需求的字符种类的状态为x时，所选区间的最右端点的最小值。很显然当dp[i]<=n是合法的，说明可以取到这样的区间
对于dp的转移，我们需要知道指定字符在之后区间出现的位置，这样才知道是否可以转移，所有我们设数组$pos[i][j]$表示区间[j,n]匹配字符i的最早位置，预处理出pos，这样之后就可以O(1)转移
状态转移方程为：
$$dp[x]=mi{n}_{(1<<i)\in x}pos[i][dp[x-(1<<i)]+1]$$
含义就是：状态x可以由状态x-(1<<i)，然后在区间$[dp[x-(1<<i)]+1,n]$中选择字符i转移得到

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
void read(){};
template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar)
{
    x= 0;
    char c= getchar();
    bool flag= 0;
    while (c < '0' || c > '9')
        flag|= (c == '-'), c= getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();
    if (flag)
        x= -x;
    read(Ar...);
}
template <typename T> inline void write(T x)
{
    if (x < 0) {
        x= ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    startTime= clock();
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
    endTime= clock();
    printf("\\nRun Time:%lfs\\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn= 2e5 + 9;
int n, k;
const int mx= (1 << 18) + 9;
int dp[mx];
char s[maxn];
int pos[20][mx];
bool check(int mid)
{
    //先预处理出pos[][]
    for (int i= 0; i < k; i++) {
        int num= 0;
        for (int j= n; j >= 1; j--) {
            if (s[j] == 'a' + i || s[j] == '?') //如果是第k个字符或者是?
                num++; //符合我们要求，连续
            else
                num= 0; //否则中断
            if (num >= mid) //如果连续长度大于等于mid
                pos[i][j]= j + mid - 1; //记录最左侧情况
            else //如果小于mid
                pos[i][j]= pos[i][j + 1];
        }
    }
    memset(dp, INF_int, sizeof(dp));
    dp[0]= 0;
    for (int i= 1; i < (1 << k); i++) { //枚举状态

        for (int j= 0; j < k; j++) { //对于每个字符考虑
            if ((i >> j) & 1) { //如果当前状态有这个字符
                if (dp[i - (1 << j)] != INF_int) { //如果去掉这个字符的状态存在
                    if (pos[j][dp[i - (1 << j)] + 1]) { //如果后面的区间内有字符j
                        dp[i]= min(dp[i], pos[j][dp[i - (1 << j)] + 1]); //最小化所有区间右端点
                    }
                }
            }
        }
    }
    return dp[(1 << k) - 1] <= n;
}
int main()
{
    //rd_test();
    read(n, k);
    cin >> (s + 1);
    int l= 1, r= n / k;
    int res= 0;
    while (l <= r) {
        int mid= l + r >> 1;
        if (check(mid)) {
            res= mid;
            l= mid + 1;
        }
        else
            r= mid - 1;
    }
    cout << res << endl;
    //Time_test();
}