0-1背包问题

Posted 2021-11-09 超霸霸

0-1背包问题

• 问题：

  给定一个背包和若个物品，书包的体积为W，物品的数量为N，且每个物品都有对应的体积wi和价值vi，求当怎样装物品使得书包中物品的价值总和最大？

• 解题思路：

  • 宏观：这是一个典型的动态规划问题，我们采用填表的方式来解题。设置一个二维数组dp，dp[i][w]表示对应前i个物品，背包体积为w，该情况下书包能装物品的最大价值，则dp[N][W]即为我们要求的结果，我们要做的就是遍历这张表，将数据一个一个计算填入最后求出dp[N][W]
  • 微观：在计算dp[i][w]时，我们先判断第i个物品是否能放得下，若不能则dp[i][w]=dp[i-1][w]；若放得下，我们则求将第i个物品放进和不放进两种情况中背包价值更大的值：若不放进，则dp[i][w]=dp[i-1][w]，若放进，则dp[i][w]=dp[i-1][w-w[i]]+v[i]，返回两者中较大的即可

• 例子：
  假设N=3，W=4，w=[2,1,3]，v=[4,2,3]，则dp表如下

  i/w	0	1	2	3	4
  0	0	0	0	0	0
  1	0	0	4	4	4
  2	0	2	4	6	6
  3	0	2	4	6	6

• 代码

  #include<iostream>
  #include<algorithm>
  #include<vector>
  using namespace std;
  
  int knapsack(int W, int N, vector<int>& wt, vector<int>& vt) {
  	//dp为二维数组，并初始化为0
  	vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(W + 1, 0));
  	for (int i = 1; i <= N; i++) {
  		for (int w = 1; w <= W; w++) {
  			//第i个物品放不下
  			if (w - wt[i - 1] < 0) {
  				dp[i][w] = dp[i - 1][w];
  			}
  			//第i个物品放得下
  			else {
  				dp[i][w] = max(dp[i - 1][w - wt[i - 1]] + vt[i - 1], dp[i - 1][w]);
  			}
  		}
  	}
  	return dp[N][W];
  }
  
  int main()
  {
  	//W为总容量，N为物品个数
  	int W, N;
  	cin >> W >> N;
  	//w为重量数组，v为价值数组
  	vector<int> w;
  	vector<int> v;
  	//输入每个物品的重量和价值
  	for (int i = 0; i < N; i++) {
  		int wi, vi;
  		cin >> wi;
  		w.push_back(wi);
  		cin >> vi;
  		v.push_back(vi);
  	}
  	cout << knapsack(W, N, w, v);
  	return 0;
  }