第十二届蓝桥杯 2021年国赛真题 (Java 大学B组)

Posted 2021-11-08 肖有量

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了第十二届蓝桥杯 2021年国赛真题 (Java 大学B组)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

认真整下，不嘻嘻哈哈了。

#A 整数范围

本题总分：5 分

问题描述

用 $8$ 位二进制（一个字节）来表示一个非负整数，表示的最小值是 $0$ ，则一般能表示的最大值是多少？

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

255

calcCode：

public class Test {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.print(0xFF);
    }
}

#B 纯质数

本题总分：5 分

问题描述

如果一个正整数只有 $1$ 和它本身两个约数，则称为一个质数（又称素数）。
前几个质数是： $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, \cdot \cdot \cdot$ 。
如果一个质数的所有十进制数位都是质数，我们称它为纯质数。例如： $2, 3, 5, 7, 23, 37$ 都是纯质数，而 $11, 13, 17, 19, 29, 31$ 不是纯质数。当然 $1, 4, 35$ 也不是纯质数。
请问，在 $1$ 到 $20210605$ 中，有多少个纯质数？

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

1903

预备知识

如果不会一种合数筛法的，估计跑到比赛结束结果都出不来。

质数打表，

就是为了这点题解，

我才写的这篇博客。

就是为了这篇博客，

我才立的这个标题。

朴素解法

一种朴素的想法，在打表 $[1, 20210605]$ 间的质数时，额外的进行一次纯质数效验，并将结果累加起来。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {

    public static final int N = 20210605;

    public static void main(String[] args) {
        boolean[] marked = new boolean[N + 1];
        List<Integer> primes = new ArrayList();
        marked[0] = marked[1] = true;
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            if (!marked[i]) {
                primes.add(i);
                boolean flag = false;
                for (int k = i; k > 0; k /= 10)
                    if (flag = marked[k % 10]) break;
                if (!flag) ans++;
            }
            for (int p : primes) {
                if (p * i > N)  break;
                marked[p * i] = true;
                if (i % p == 0) break;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

按位枚举

在朴素的解法中，我们会发现，很多拆分判断一个质数是否是纯质数是没有必要的，因为在 $[0, 10)$ 中，质数仅占 ${2,3,5,7\\}$ 四位，如果仅判断这四个数字组合成的数是否是质数的话，性能能否有进一步的提升呢？

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class Test {

    public static final int N = 20210605;

    public static int[][] digits = new int[8][4];

    public static void main(String[] args) {
        boolean[] primes = new boolean[N + 1];
        List<Integer> helper = new ArrayList();
        Arrays.fill(primes, 2, N, true);
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            if (primes[i]) helper.add(i);
            for (int p : helper) {
                if (p * i > N)  break;
                primes[p * i] = false;
                if (i % p == 0) break;
            }
        }
        digits[0] = new int[]{2, 3, 5, 7};
        for (int k = 1; k < 7; k++)
            for (int i = 0; i < 4; i++)
                digits[k][i] = digits[k - 1][i] * 10;
        digits[7] = new int[]{ digits[6][0] * 10 };
        System.out.println(dfs(primes, 0, 0));
    }

    public static int dfs(boolean[] primes, int k, int depth) {
        if (depth == 8) return k <= N && primes[k] ? 1 : 0;
        int ans = primes[k] ? 1 : 0;
        for (int a : digits[depth])
            ans += dfs(primes, k + a, depth + 1);
        return ans;
    }
}

实际上性能并没有进一步的提升，并且代码量还有所增加。

这是因为在 $(1, N]$ 这个范围中的质数大约有 $\\cfrac{N}{\\ln N}$ 个，而按位组成的可能是纯质数的数大约有 $4^{\\ln N}$ 个，这显然不是一个增值量级的。

但这里放这么一段代码，是为了进一步扩展刷题较少的读者的解题思路，能掌握一种方法来解决其他的问题。

#C 完全日期

本题总分：10 分

问题描述

如果一个日期中年月日的各位数字之和是完全平方数，则称为一个完全日期。
例如： $2021$ 年 $6$ 月 $5$ 日的各位数字之和为 $2 + 0 + 2 + 1 + 6 + 5 = 16$ ，而 $16$ 是一个完全平方数，它是 $4$ 的平方。所以 $2021$ 年 $6$ 月 $5$ 日是一个完全日期。
例如： $2021$ 年 $6$ 月 $23$ 日的各位数字之和为 $2 + 0 + 2 + 1 + 6 + 2 + 3 = 16$ ，是一个完全平方数。所以 $2021$ 年 $6$ 月 $23$ 日也是一个完全日期。
请问，从 $2001$ 年 $1$ 月 $1$ 日到 $2021$ 年 $12$ 月 $31$ 日中，一共有多少个完全日期？

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

977

Java党的完全胜利

LocalDate好用。

朴素解法

枚举 $[2001$ - $01$ - $01$ ， $2021$ - $12$ - $31]$ 这个区间间内的时间，判断然后累加。

import java.time.LocalDate;

public class Test {

    public static final int maxPerfect = 2 + 0 + 1 + 9 + 0 + 9 + 2 + 9;

    public static final boolean[] perfect = new boolean[maxPerfect + 1];

    public static LocalDate start = LocalDate.of(2001, 01, 01);

    public static LocalDate end = LocalDate.of(2021, 12, 31);

    public static void main(String[] args) {
        int count = 0;
        for (int i = 1; i * i<= maxPerfect; i++)
            perfect[i * i] = true;
        while (end.compareTo(start) >= 0) {
            if (perfect[calc(start)])
                count++;
            start = start.plusDays(1);
        }
        System.out.println(count);
    }

    public static int calc(LocalDate date) {
        String dateStr = date.toString();
        int res = 0;
        for (int i = dateStr.length() - 1; i >= 0; i--)
            if (Character.isDigit(dateStr.charAt(i)))
                res += Character.digit(dateStr.charAt(i), 10);
        return res;
    }
}