Educational Codeforces Round 115 (Rated for Div. 2) D. Training Session(容斥,思维)

Posted 2021-11-08 issue是fw

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$n$个元素每个拥有$a_i,b_i$两个属性,没有两个元素的两个属性都相同.

问选出三个元素使得他们的$a$属性各不相同或$b$属性各不相同的方案数。

$a_i,b_i<=n<=2\ast 10^5$

---

首先总方案数有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)=\frac{n\ast (n-1)\ast (n-2)}{6}$

考虑减去不合法的方案数,也就是两种属性都有相同的方案

设选出来的三人是$R,S,T$,由于没有两个人的属性值完全相同

那么此时无非三种情况 (令$numa[i]$表示$a$属性值为$i$的人数,$numb[i]$同理)

Ⅰ.$R$的$a$属性和$S$的$a$相同,且$b$属性和$T$的$b$相同

(当然你也可以说$R_a=S_a\&\&S_b=T_b$,不过这样角色$S$相当于此时的角色$R$,是等价的方案,我们只计算一种即可)

此时枚举$R$的$a$属性值为$a_1$,$b$属性为$b_1$

那么$S$的选择有$numa[a_1]-1$种,$T$的选择有$numb[b_1]-1$种

而且因为没有两个人属性完全相同,可得$R!=S\&\&R!=T\&\&S!=T$

显然方案数为$(numa[a_1]-1)\ast (numb[b_1]-1)$种

其余情况均不满足

和上面同理

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e6+10;
int n,a[maxn],b[maxn];
vector<int>va[maxn],vb[maxn];
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio( false ); cin.tie( 0 ); cout.tie( 0 );
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> n;
		int ans = (n-2)*(n-1)*n/6;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cin >> a[i] >> b[i];
			va[a[i]].push_back( b[i] );
			vb[b[i]].push_back( a[i] );
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)	sort( va[i].begin(),va[i].end() );
		for(int i=1;i<=n;i++)	sort( vb[i].begin(),vb[i].end() );		
		for(int i=1;i<=n;i++)	ans -= 1ll*( 1ll*va[a[i]].size()-1 )*( vb[b[i]].size()-1 );
		cout << ans << endl;
		for(int i=1;i<=n;i++)	va[i].clear(), vb[i].clear();
	}
	return 0;
}