利用 FFT 模拟菲涅尔衍射积分
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利用 FFT 模拟菲涅尔衍射积分
一束光线穿过一个孔径为 S ′ S' S′ 的平面，在距离平面为 L L L 的时候，其波函数可以由菲涅尔积分定义：
Ψ ( r , t ) = C ∫ S ′ e i k ∣ r − r ′ ∣ ∣ r − r ′ ∣ cos ( θ ) d 2 r ′ , w i t h C = k Ψ 0 e − i t w 2 π i \\Psi(\\mathbf{r}, t) = C \\int_{S'} \\frac{e^{ik|r-r'|}}{|r-r'|} \\cos(\\theta)d^2r', \\quad with \\quad C = \\frac{k \\Psi_{0} e^{-itw}}{2 \\pi i} Ψ(r,t)=C∫S′∣r−r′∣eik∣r−r′∣cos(θ)d2r′,withC=2πikΨ0e−itw
基于菲涅尔近似，在角度接近 0 度的时候，上式可以简化为：
∣ r − r ′ ∣ ≈ z + ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 2 z |r - r'| \\approx z + \\frac{(x - x')^2 + (y - y')^2}{2z} ∣r−r′∣≈z+2z(x−x′)2+(y−y′)2
并且可以假设：
∣ r − r ′ ∣ ≈ L |r - r'| \\approx L ∣r−r′∣≈L
菲涅尔积分可以变成：
Ψ ( r , t ) = R ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( x ′ 2 + y ′ 2 ) e − i k x z x ′ − i k y z y ′ d x ′ d y ′ \\Psi(\\mathbf{r}, t) = R \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x', y') e^{\\frac{ik}{2z}(x'^2 + y'^2)} e^{-\\frac{ikx}{z}x'-\\frac{iky}{z}y'} dx'dy' Ψ(r,t)=R∫−∞∞∫−∞∞f(x′,y′)e2zik(x′2+y′2)e−zikxx′−zikyy′dx′dy′
w i t h R = k Ψ 0 e i ( k z − t w ) 2 π i z e i k x 2 + y 2 2 z with \\quad R = \\frac{k \\Psi_{0} e^{i(kz - tw)}}{2 \\pi i z} e^{ik \\frac{x^2 + y^2}{2z}} withR=2πizkΨ0ei(kz−tw)eik2zx2+y2
f ( x ′ , y ′ ) = { 1 if ( x ′ , y ′ ) ∈ S ′ 0 if ( x ′ , y ′ ) ∉ S ′ f(x', y') = \\begin{cases} 1 & \\text{ if } (x', y')\\in S' \\\\ 0 & \\text{ if } (x', y')\\notin S' \\end{cases} f(x′,y′)={10 if (x′,y′)∈S′ if (x′,y′)∈/S′
上式可以转换成傅里叶变换的形式：
Ψ ( r , t ) = R ⋅ F [ f ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] \\Psi(\\mathbf{r}, t) = R \\cdot \\mathcal{F}[f(x', y') e^{\\frac{ik}{2z}(x'^2 + y'^2)}] Ψ(r,t)=R⋅F[f(x′,y′)e2zik(x′2+y′2)]
F [ f ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( x ′ 2 + y ′ 2 ) e − i k x z x ′ − i k y z y ′ d x ′ d y ′ \\mathcal{F}[f(x', y') e^{\\frac{ik}{2z}(x'^2 + y'^2)}] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x', y') e^{\\frac{ik}{2z}(x'^2 + y'^2)} e^{-\\frac{ikx}{z}x'-\\frac{iky}{z}y'} dx'dy' F[f(x′,y′)e利用 FFT 模拟菲涅尔衍射积分