第4章 有限集与无限集
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第4章 有限集与无限集
一、有限集与无限集基本概念
1.有限集定义
令
N
n
=
{
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
−
1
}
N_{n} = \\{0,1,2,...,n-1\\}
Nn={0,1,2,...,n−1}，如果集合S与
N
n
N_n
Nn,存在一个双射，则称S是有限集，并且称S的基数为n。如果S不是有限集，则称它是无限集
设S是一个集合，如果S与它的某个真子集存在一个双射，则称S是无限集;否则称S是有限集
2.定理
自然数集是无限集
实数集是无限集
二、有限集的计数
1.容斥原理
∣
A
1
∪
A
2
∣
=
∣
A
1
∣
+
∣
A
2
∣
−
∣
A
1
∩
A
2
∣
\\left|A_{1} \\cup A_{2}\\right|=\\left|A_{1}\\right| +\\left|A_{2}\\right|-\\left|A_{1} \\cap A_{2}\\right|
∣A1∪A2∣=∣A1∣+∣A2∣−∣A1∩A2∣
∣
A
1
∪
A
2
∪
A
3
∣
=
∣
A
1
∣
+
∣
A
2
∣
+
∣
A
3
∣
−
∣
A
1
∩
A
2
∣
−
∣
A
1
∩
A
3
∣
−
∣
A
2
∩
A
3
∣
+
∣
A
1
∩
A
2
∩
A
3
∣
\\left|A_{1} \\cup A_{2} \\cup A_{3}\\right| =\\left|A_{1}\\right|+\\left|A_{2}\\right|+\\left|A_{3}\\right|-\\left|A_{1} \\cap A_{2}\\right| -\\left|A_{1} \\cap A_{3}\\right|-\\left|A_{2} \\cap A_{3}\\right|+\\left|A_{1} \\cap A_{2} \\cap A_{3}\\right|
∣A1∪A2∪A3∣=∣A1∣+∣A2∣+∣A3∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−∣A2∩A3∣+∣A1∩A2∩A3∣
例 求1到250之间能被 2、3或5整除的数的个数
令A,B,C分别表示能被2、3和5整除的数的集合，则能被2、3或5整除的数的集合是
A
∪
B
∪
C
A \\cup B \\cup C
A∪B∪C
∣
A
∣
=
125
,
∣
B
∣
=
83
,
∣
C
∣
=
50
|A|=125, |B|=83,|\\boldsymbol{C}|=\\mathbf{5 0}
∣A∣=125,∣B∣=83,∣C∣=50
∣
A
∩
B
∣
=
41
,
∣
A
∩
C
∣
=
25
,
∣
B
∩
C
∣
=
16
|A \\cap B|=41, |A \\cap C|=25, |B \\cap C|=16
∣A∩B∣=41,∣A∩C∣=25,∣B∩C∣=16
∣
A
∩
B
∩
C
∣
=
8
|A \\cap B \\cap C|=8
∣A∩B∩C∣=8
因此，由容斥原理得
∣
A
∪
B
∪
C
∣
|A \\cup B \\cup C|
∣A∪B∪C∣
=
∣
A
∣
+
∣
B
∣
+
∣
C
∣
−
∣
A
∩
B
∣
−
∣
A
∩
∣
C
∣
−
∣
B
∩
C
∣
+
∣
A
∩
B
∩
C
∣
=|A|+|{B}| +|{C}|-|{A} \\cap {B}|-|{A} \\cap| {C}|-| {B} \\cap {C} \\mid +|A \\cap {B} \\cap {C}|
=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩∣C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣
=
125
+
83
+
50
−
41
−
25
−
16
+
8
=
184
=\\mathbf{1 2 5}+83+50-41-25-16+8=184
=125+83+50−41−25−16+8=184
三、无限集的性质
1.集合等势的概念
1.1 定义
若集合A的元素与集合B的元素之间存在双射，则称A与B等势，记为 A ∼ B A \\sim B A∼B
1.2 注释
(1) 容易验证有限集A与有限集B等势,当且仅当A与B的元素个数相等,于是“势”是有限集元素个数的推广，即“势”可理解成集合元素“个数”的度量.集合等势可理解成集合元素“个数”相等.
(2) 设
Γ
\\Gamma
Γ是一个集合族,得到等势的下列性质
(双射的逆映射与两个双射的复合仍是双射)
1.对
Γ
\\Gamma
Γ的任意元素A，
A
∼
A
A \\sim A
A∼A（等势具有自反性）
2.如果
A
∼
B
A \\sim B
A∼B,则
B
∼
A
B \\sim A
B∼A（等势具有对称性）
3.如果
A
∼
B
A \\sim B
A∼B,
B
∼
C
B \\sim C
B∼C，则
A
∼
C
A \\sim C
A∼C（等势具有传递性）
令
Γ
\\Gamma
Γ是一个集合族,在
Γ
\\Gamma
Γ上定义关系
R
=
{
(
A
,
B
)
∣
A
,
B
∈
Γ
,
A
∼
B
}
R=\\{(A, B) \\mid A, B \\in \\Gamma, A \\sim B\\}
R={(A,B)∣A,B∈Γ,A∼B}
由上面等势的性质知关系R是等价关系
于是
Γ
\\Gamma
Γ按照R可划分成“势相等”的许多等价类
(3) 若
A
i
∼
B
i
(
i
=
1
,
2
)
,
A
1
∩
A
2
=
∅
,
且
B
1
∩
B
2
=
∅
,
则
A
1
∪
A
2
∼
B
1
∪
B
2
A_i \\sim B_i(i=1,2),A_1 \\cap A_2 = \\emptyset ,且 B_1 \\cap B_2 =\\emptyset ,则A_1 \\cup A_2 \\sim B_1 \\cup B_2
Ai∼Bi(i=1,2),A1∩A2=∅,且B1∩B2=∅,则A1∪AR语言实战-云图