最幸运的数字（同余方乘）

Posted 2021-11-04 li_wen_zhuo

题目描述

8 是中国的幸运数字，如果一个数字的每一位都由 8 构成则该数字被称作是幸运数字。
现在给定一个正整数 L，请问至少多少个 8 连在一起组成的正整数（即最小幸运数字）是 L 的倍数。

输入格式

输入包含多组测试用例。
每组测试用例占一行，包含一个整数 L。
当输入用例 L=0 时，表示输入终止，该用例无需处理。

输出格式

每组测试用例输出结果占一行。
结果为 Case i:+一个整数 N，N 代表满足条件的最小幸运数字的位数。
如果满足条件的幸运数字不存在，则 N=0。

数据范围

1≤L≤2×109

输入样例
8
11
16
0
输出样例
Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0

题目分析

题目要求我们找出最小的全是8的数，使其能够整除L。
假设答案有x位数：$xx\dots xx/L$
$=88\dots 88/L$
$=8\ast 11\dots 11/L$
$=8\ast (99\dots 99/9)/L$
$=8\ast ((10^x-1)/9)/L$
$=(10^x-1)/(9\ast L/8)$
设d=gcd(8,L)，c=9*L/d(为常数):$=(10^x-1)/(9\ast L/d)$
$=(10^x-1)/c$

$也就是说，c可以整除(10^x-1)。我们可以通过这个结论，可以得出一个同余方程：10^x\equiv 1(modc)$

$根据欧拉定理：当10和c互质时，10^x\equiv 1(modc)的其中一个解为\phi (c)。并且，当10与c不互质时，无解$

$但是，通过欧拉定理得到的解\phi (c)，并不是题目中要求的最小解因此我们还要通过这个解来求出10^x\equiv 1(modc)的最小解。$
$设x为最小解，那么x一定可以整除\phi (c)。因此我们可以枚举\phi (c)的所有约数，将其带入约数方程中，找出最小值$$即可。$

$补充：$
$1、欧拉定理：gcd(a,n)=1,则a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)其中,\phi (n)是欧拉函数$

$2、证明：最小解x一定可以整除\phi (c)。我们可以通过反证法来证明$
$如果x不能整除\phi (c)，那么\phi (c)=q\ast x+r(r<x)$
$如果x满足同余方程，那么qx也一定满足同余方程。我们还知道q\ast x+r也是满足同余方程的，$$这样就可以得出r是满足同余方程的。因为r<x，与最小解为x的前提相矛盾。因此最小解x一定可以整除\phi (c)。$

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <set>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1e6+5,INF=0x3f3f3f3f;
LL euler(LL C)					//求C的欧拉函数
{
    LL ans=C;
    for(int i=2;i<=C/i;i++)
        if(C%i==0)
        {
            while(C%i==0) C/=i;
            ans=ans/i*(i-1);
        }
    if(C>1) ans=ans/C*(C-1);
    return ans;
}
LL mul(LL a,LL b,LL mod)		//龟速乘法（因此C最大能达到1e10，快速幂的过程中会爆long long，因此我们需要用龟速乘法）
{
    LL res=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL kmi(LL a,LL k,LL mod)		//快速幂
{
    LL res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=mul(res,a,mod);
        a=mul(a,a,mod);
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    LL L,t=1;
    while(cin>>L,L)
    {
        int d=__gcd(L,8ll);
        LL C=9*L/d;						//求出C
        LL phi=euler(C);				//同余方程的一个解phi(C)
        LL ans=1e18;
        if(C%2==0||C%5==0) ans=0;		//当C与10不互质时，无解
        else 
        for(LL i&#
以上是关于最幸运的数字（同余方乘）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 Acwing202. 最幸运的数字
 牛客 - Yuki with emofunc and playf(同余最短路)
 ACM选修HUST1058(市赛题) Lucky Sequence 同余定理
 幸运数字
 三：排序-幸运数字
 CodeforcesRound #460 E - Congruence Equation 中国剩余定理+数论