1309. 车的放置（组合数学）

Posted 2021-11-04 li_wen_zhuo

题目描述

有下面这样的一个网格棋盘，a,b,c,d 表示了对应边长度，也就是对应格子数。

当 a=b=c=d=2 时，对应下面这样一个棋盘：

要在这个棋盘上放 k 个相互不攻击的车，也就是这 k 个车没有两个车在同一行，也没有两个车在同一列，问有多少种方案。
只需要输出答案 mod100003 后的结果。

输入格式

共一行，五个非负整数 a,b,c,d,k。

输出格式

包括一个正整数，为答案 mod100003 后的结果。

数据范围

0≤a,b,c,d,k≤1000，
保证至少有一种可行方案。

输入样例
2 2 2 2 2
输出样例
38

题目分析

$既然这种不规则图形不好计算，那我们可以先算一下普通正方形的解。$

$一个长为n，宽为m的网格，放k个棋子。$
$首先我们可以从m行中选择k行，结果为C_m^k。$
$然后每一行的选择数有n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast \dots \dots \ast (n-k+1)，即A_m^k。$
$最终的答案即为：C_m^k\ast A_m^k$

$有了这个结论，我们再来看这道题，其实就是一个大的长方形上加了一个小的长方形。$

$我们可以先将k个棋子分到上下两个长方形中，假设上面的长方形中分配i个棋子，而下面的长方形则分配k-i个棋子。$
$我们先来算小的长方形，直接带入我们推出的表达式即可，答案即为：C_b^i\ast A_a^i。$

$然后我们来算大的长方形，首先在d行中选择k-i行，结果为C_d^{k-i}。$
$然后每一行的选择数有(a+c-i)\ast (a+c-i-1)\ast \dots \dots \ast (a+c-k+1)，即A_{a+c-i}^{k-i}。$
$下长方形的方案数即为：C_d^{k-i}\ast A_{a+c-i}^{k-i}。$

$因此，最终的答案为C_b^i\ast A_a^i\ast C_d^{k-i}\ast A_{a+c-i}^{k-i}。$

$最后枚举所有i，求出所有情况之和即可。$

$补充：为什么要先算上面小长方形？$
$因为上面的小长方形对下面长方形的影响是固定的，它一定会占用i列。$
$而下面长方形对上面的影响是不固定的，我们不确定下面棋子占用的列是否会影响到上面，因此不好计算。$

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=2e3+5,mod=100003;
int fact[N],infact[N];
int qmi创建一个叫做机动车的类： 属性：车牌号(String)，车速(int)，载重量(double) 功能：加速(车速自增)减速(车速自减)修改车牌号，查询车的载重量。 编写两个构造方法：一个没有(代码片段

 hdu1281(棋盘游戏，车的放置）
 车的放置
 11．按要求编写Java应用程序。 创建一个叫做机动车的类： 属性：车牌号(String)，车速(int)，载重量(double) 功能：加速(车速自增)减速(车速自减)修改车牌号，查询车的(代码片段
 按要求编写Java应用程序。 创建一个叫做机动车的类： 属性：车牌号(String)，车速(int)，载重量(double) 功能：加速(车速自增)减速(车速自减)修改车牌号，查询车的载重量(代码片段
 CH6802车的放置（二分图最大匹配）