AIMD response function的一般推导

Posted 2021-11-04 dog250

之前我通过Reno算法推导过近似的AIMD response function：
https://blog.csdn.net/dog250/article/details/119816289
但是不具备普遍性，今天早上在推导MPTCP的coupled cc的时候，觉得那篇论文¹里关于稳定状态的守恒律说的不是很严谨，就想不失一般性地推导一个通用的。还是离不开微积分。正好本周的任务之一就是给小小普及微积分，我决定从 盯着变化 开始。

从一般表达式求导，几乎很多事情都可以从此开始。

顺便写这么一篇。参考经典²。

在丢包率为$p$的路径上，任意时间$t$，设cwnd为$w$，AI系数为$\alpha$，MD系数为$\beta$，RTT为$R$，那么吞吐率$T$为：

$T(t)=\frac{w}{R}$

求导，就可以得到吞吐率的变化情况：

$\frac{dT(t)}{dt}=\frac{1}{R}\frac{dw}{dt}$

其中，$dw$可以通过AIMD行为来表示出来，即AI获得的$w$增量与MD带来的$w$损失之差：

AI rate$=\frac{\alpha }{w}$
MD rate$=\beta w$

$dw=(\frac{\alpha }{w})(1-p)-(\beta w)p$

另一方面，TCP数据的发送是靠ACK自时钟驱动的，一个RTT内，一共会收到$w$个ACK，$dt$作为连续ACK到达的间隔：

$dt=\frac{R}{w}$

将$dw$和$dt$代入$\frac{dT}{dt}$的表达式：

$\frac{dT(t)}{dt}=\frac{w}{R^2}\times (\frac{\alpha }{w}(1-p)-\beta wp)=\frac{T(t)}{R}\times (\frac{\alpha }{w}(1-p)-\beta wp)$

整理成$T(t)$和$p$的关系，可得：

$\frac{dT(t)}{dt}=\alpha \frac{1-p}{R^2}-\beta T(t{)}^{2}p$

在稳定情况下，吞吐率是不会变化的，即$\frac{dT}{dt}=0$代入上式：

$\alpha \frac{1-p}{R^2}=\beta T(t{)}^{2}p$

求解$T(t)$，可得：

$T(t)=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{\alpha (1-p)}{\beta p}}$

这就导出了丢包率$p$和吞吐率$T$之间的关系。

对于Reno而言，$\alpha =1$，$\beta =0.5$

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。

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1. https://www.usenix.org/legacy/events/nsdi11/tech/full_papers/Wischik.pdf ↩︎

2. https://www.cse.wustl.edu/~jain/papers/ftp/cong_av.pdf ↩︎